Función sumatoria del divisor
En teoría de números , la función sumatoria del divisor es una función que es una suma sobre la función del divisor . Ocurre con frecuencia en el estudio del comportamiento asintótico de la función zeta de Riemann . Los diversos estudios del comportamiento de la función divisoria a veces se denominan problemas de divisores .
es la función divisor . La función divisor cuenta el número de formas en que el número entero n se puede escribir como un producto de dos números enteros. De manera más general, se define
donde d k ( n ) cuenta el número de formas en que n se puede escribir como un producto de k números. Esta cantidad se puede visualizar como el recuento del número de puntos de celosía cercados por una superficie hiperbólica en k dimensiones. Por lo tanto, para k = 2, D ( x ) = D 2 ( x ) cuenta el número de puntos en un retículo cuadrado delimitado a la izquierda por el eje vertical, en la parte inferior por el eje horizontal y en la parte superior. junto a la hipérbola jk = x . Aproximadamente, esta forma se puede imaginar como un simplex hiperbólico. Esto nos permite proporcionar una expresión alternativa para D ( x ) y una forma sencilla de calcularla en el tiempo:
Si la hipérbola en este contexto se reemplaza por un círculo, la determinación del valor de la función resultante se conoce como el problema del círculo de Gauss .
Secuencia de D (n) (secuencia A006218 en la OEIS ):
0, 1, 3, 5, 8, 10, 14, 16, 20, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 45, 50, 52, 58, 60, 66, 70, 74, 76, 84, 87, 91, 95, 101, 103, 111, ...
Encontrar una forma cerrada para esta expresión sumada parece estar más allá de las técnicas disponibles, pero es posible dar aproximaciones. El comportamiento principal de la serie viene dado por
