En matemáticas , el problema del círculo de Gauss es el problema de determinar cuántos puntos de celosía enteros hay en un círculo centrado en el origen y con radio . Este número es aproximado por el área del círculo, por lo que el problema real es delimitar con precisión el término de error que describe cómo el número de puntos difiere del área. El primer avance en una solución fue realizado por Carl Friedrich Gauss , de ahí su nombre.
El problema
Considere un círculo en con centro en el origen y radio . El problema del círculo de Gauss pregunta cuántos puntos hay dentro de este círculo de la forma dónde y son ambos enteros. Dado que la ecuación de este círculo está dada en coordenadas cartesianas por, La pregunta es equivalentemente preguntando cuántos pares de números enteros m y n no son tales que
Si la respuesta a un dado se denota por entonces la siguiente lista muestra los primeros valores de por un número entero entre 0 y 12 seguido de la lista de valores redondeado al entero más cercano:
Se limita a una solución y conjetura.
es aproximadamente , el área dentro de un círculo de radio. Esto se debe a que, en promedio, cada cuadrado unitario contiene un punto de celosía. Por lo tanto, el número real de puntos de celosía en el círculo es aproximadamente igual a su área,. Por lo que debería esperarse que
por algún término de error de valor absoluto relativamente pequeño. Encontrar un límite superior correcto paraes así la forma que ha tomado el problema. Tenga en cuenta queno tiene que ser un número entero. Después uno tiene En estos lugares aumenta en después de lo cual disminuye (a una tasa de ) hasta la próxima vez que aumente.
Gauss logró demostrar [1] que
Hardy [2] e, independientemente, Landau encontraron un límite inferior al mostrar que
usando la pequeña notación o . Se conjetura [3] que el límite correcto es
Escritura , los límites actuales en están
con el límite inferior de Hardy y Landau en 1915, y el límite superior probado por Martin Huxley en 2000. [4]
Formas exactas
El valor de puede estar dado por varias series. En términos de una suma que involucra la función piso, se puede expresar como: [5]
Esto es una consecuencia del teorema de los dos cuadrados de Jacobi, que se sigue casi inmediatamente del producto triple de Jacobi . [6]
Aparece una suma mucho más simple si la función de suma de cuadrados se define como la cantidad de formas de escribir el número como la suma de dos cuadrados. Entonces [1]
El progreso más reciente se basa en la siguiente identidad, que fue descubierta por primera vez por Hardy: [7]
dónde denota la función de Bessel del primer tipo con orden 1.
Generalizaciones
Aunque el problema original pide puntos de celosía enteros en un círculo, no hay razón para no considerar otras formas, por ejemplo cónicas ; de hecho, el problema del divisor de Dirichlet es el problema equivalente donde el círculo se reemplaza por la hipérbola rectangular . [3] De manera similar, uno podría extender la pregunta de dos dimensiones a dimensiones más altas y pedir puntos enteros dentro de una esfera u otros objetos. Existe una extensa literatura sobre estos problemas. Si se ignora la geometría y simplemente se considera que el problema es algebraico de desigualdades diofánticas, entonces se podrían aumentar los exponentes que aparecen en el problema de cuadrados a cubos, o más.
El planímetro de puntos es un dispositivo físico para estimar el área de formas según el mismo principio. Consiste en una cuadrícula de puntos, impresa en una hoja transparente; el área de una forma se puede estimar como el producto del número de puntos en la forma con el área de un cuadrado de la cuadrícula. [8]
El problema del círculo primitivo
Otra generalización es calcular el número de soluciones enteras coprimas a la desigualdad
Este problema se conoce como el problema del círculo primitivo , ya que implica la búsqueda de soluciones primitivas al problema del círculo original. [9] Puede entenderse intuitivamente como la cuestión de cuántos árboles dentro de una distancia de r son visibles en el huerto de Euclides , de pie en el origen. Si se indica el número de tales soluciones entonces los valores de por tomando valores enteros pequeños son
Usando las mismas ideas que el problema habitual del círculo de Gauss y el hecho de que la probabilidad de que dos enteros sean coprimos es, es relativamente sencillo demostrar que
Al igual que con el problema del círculo habitual, la parte problemática del problema del círculo primitivo es reducir el exponente en el término de error. En la actualidad el exponente más conocido essi se asume la hipótesis de Riemann . [9] Sin asumir la hipótesis de Riemann, el límite superior más conocido es
para una constante positiva . [9] En particular, no hay límite en el término de error del formulario. para cualquier Actualmente se sabe que no asume la Hipótesis de Riemann.
Notas
- ↑ a b Hardy, GH (1959). Ramanujan: Doce conferencias sobre temas sugeridos por su vida y obra (3ª ed.). Nueva York: Chelsea Publishing Company. pag. 67. MR 0106147 .
- ^ Hardy, GH (1915). "Sobre la expresión de un número como la suma de dos cuadrados". Revista Trimestral de Matemáticas . 46 : 263-283.
- ^ a b Guy, Richard K. (2004). "F1: problema del punto de celosía de Gauß". Problemas no resueltos en teoría de números . Libros de problemas de matemáticas (3ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 365–367. doi : 10.1007 / 978-0-387-26677-0 . ISBN 0-387-20860-7. Señor 2076335 .
- ^ Huxley, MN (2002). "Puntos enteros, sumas exponenciales y la función zeta de Riemann". En Bennett, MA; Berndt, BC; Boston, N .; Diamante, HG; Hildebrand, AJ; Philipp, W. (eds.). Teoría de números para el milenio, II: Documentos de la conferencia celebrada en la Universidad de Illinois en Urbana – Champaign, Urbana, IL, del 21 al 26 de mayo de 2000 . Natick, Massachusetts: AK Peters. págs. 275–290. Señor 1956254 .
- ^ Hilbert, D .; Cohn-Vossen, S. (1952). Geometría e imaginación . Nueva York, NY: Chelsea Publishing Company. págs. 37–38. Señor 0046650 .
- ^ Hirschhorn, Michael D. (2000). "Fracciones parciales y cuatro teoremas clásicos de la teoría de números". The American Mathematical Monthly . 107 (3): 260–264. CiteSeerX 10.1.1.28.1615 . doi : 10.2307 / 2589321 . JSTOR 2589321 .
- ^ Landau, Edmund (1927). Vorlesungen über Zahlentheorie . 2 . Verlag S. Hirzel. pag. 189.
- ^ Steinhaus, Hugo . "O mierzeniu pól płaskich" (PDF) . Przegląd Matematyczno-Fizyczny (en polaco). 2 (1-2): 24-29.
- ^ a b c Wu, Jie (2002). "Sobre el problema del círculo primitivo". Monatshefte für Mathematik . 135 (1): 69–81. doi : 10.1007 / s006050200006 . Señor 1894296 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Problema del círculo de Gauss" . MathWorld .