En matemáticas , el teorema de preparación de Weierstrass es una herramienta para tratar funciones analíticas de varias variables complejas , en un punto P dado . Establece que tal función es, salvo multiplicación por una función distinta de cero en P , un polinomio en una variable fija z , que es mónica , y cuyos coeficientes de menor grado son funciones analíticas en las restantes variables y cero en P .
También hay una serie de variantes del teorema, que amplían la idea de factorización en algún anillo R como u · w , donde u es una unidad y w es una especie de polinomio distinguido de Weierstrass . Carl Siegel ha cuestionado la atribución del teorema a Weierstrass , diciendo que apareció con el nombre actual en algunos Traités d'analyse de finales del siglo XIX sin justificación.
Para una variable, la forma local de una función analítica f ( z ) cerca de 0 es z k h ( z ) donde h (0) no es 0, y k es el orden del cero de f en 0. Este es el resultado que el teorema de la preparación generaliza. Seleccionamos una variable z , que podemos suponer que es la primera, y escribimos nuestras variables complejas como ( z , z 2 , ..., z n ). Un polinomio de Weierstrass W ( z ) es
Esto tiene la consecuencia inmediata de que el conjunto de ceros de f , cerca de (0, ..., 0), se puede encontrar fijando cualquier valor pequeño de z 2 , ..., z n y luego resolviendo la ecuación W(z )=0 . Los valores correspondientes de z forman un número de ramas que varían continuamente , en número igual al grado de W en z . En particular , f no puede tener un cero aislado.
Un resultado relacionado es el teorema de la división de Weierstrass , que establece que si f y g son funciones analíticas, y g es un polinomio de Weierstrass de grado N , entonces existe un único par h y j tal que f = gh + j , donde j es un polinomio de grado menor que N . De hecho, muchos autores prueban la preparación de Weierstrass como corolario del teorema de la división. También es posible demostrar el teorema de la división a partir del teorema de la preparación de modo que los dos teoremas sean realmente equivalentes. [1]
El teorema de preparación de Weierstrass se puede utilizar para mostrar que el anillo de gérmenes de funciones analíticas en n variables es un anillo de Noether, que también se conoce como el teorema de la base de Rückert . [2]