En matemáticas, los polinomios de división proporcionan una forma de calcular múltiplos de puntos en curvas elípticas y de estudiar los campos generados por los puntos de torsión. Desempeñan un papel central en el estudio de los puntos de conteo en curvas elípticas en el algoritmo de Schoof .
El conjunto de polinomios de división es una secuencia de polinomios en con variables libres que se define recursivamente por:
El polinomio se llama polinomio de n- ésima división.
- En la práctica, uno establece , y entonces y .
- Los polinomios de división forman una secuencia de divisibilidad elíptica genérica sobre el anillo.
- Si una curva elíptica se da en la forma de Weierstrass sobre un campo , es decir , se pueden utilizar estos valores de y considere los polinomios de división en el anillo de coordenadas de. Las raices de son los -coordenadas de los puntos de , dónde es el subgrupo de torsión de. Del mismo modo, las raíces de son los -coordenadas de los puntos de .
- Dado un punto en la curva elíptica sobre un campo , podemos expresar las coordenadas del n- ésimo múltiplo de en términos de polinomios de división:
- dónde y están definidos por:
Usando la relación entre y , junto con la ecuación de la curva, las funciones , , están todos en .
Dejar ser primo y dejar ser una curva elíptica sobre el campo finito, es decir, . La-grupo de torsión de encima es isomorfo a Si , y para o Si . De ahí el grado de es igual a cualquiera , o 0.
René Schoof observó que trabajando módulo elEl polinomio de la división permite trabajar con todos-puntos de torsión simultáneamente. Esto se usa mucho en el algoritmo de Schoof para contar puntos en curvas elípticas.