En matemáticas , la identidad de Dixon (o el teorema de Dixon o la fórmula de Dixon ) es cualquiera de varias identidades diferentes pero estrechamente relacionadas probadas por AC Dixon , algunas que involucran sumas finitas de productos de tres coeficientes binomiales y otras que evalúan una suma hipergeométrica . Estas identidades se derivan del teorema del maestro de MacMahon y ahora se pueden demostrar de forma rutinaria mediante algoritmos informáticos ( Ekhad 1990 ).
Declaraciones
La identidad original, de ( Dixon 1891 ), es
Una generalización, también llamada a veces identidad de Dixon, es
donde una , b , y c son números enteros no negativos ( Wilf 1994 , p. 156). La suma de la izquierda se puede escribir como la serie hipergeométrica bien equilibrada final
y la identidad sigue como un caso límite (como a tiende a un número entero) del teorema de Dixon que evalúa una serie hipergeométrica generalizada 3 F 2 bien equilibrada en 1, de ( Dixon 1902 ):
Esto es válido para Re (1 + 1 ⁄ 2 a - b - c )> 0. Como c tiende a −∞, se reduce a la fórmula de Kummer para la función hipergeométrica 2 F 1 en −1. El teorema de Dixon se puede deducir de la evaluación de la integral de Selberg .
q-análogos
Un q -análogo de la fórmula de Dixon para la serie hipergeométrica básica en términos del símbolo q-Pochhammer viene dado por
donde | qa 1/2 / bc | <1.
Referencias
- Dixon, AC (1891), "Sobre la suma de los cubos de los coeficientes en una cierta expansión por el teorema del binomio", Messenger of Mathematics , 20 : 79–80, JFM 22.0258.01
- Dixon, AC (1902), "Suma de una serie determinada" , Proc. London Math. Soc. , 35 (1): 284–291, doi : 10.1112 / plms / s1-35.1.284 , JFM 34.0490.02
- Ekhad, Shalosh B. (1990), "Una prueba muy breve del teorema de Dixon", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 54 (1): 141-142, doi : 10.1016 / 0097-3165 (90) 90014-N , ISSN 1096-0899 , MR 1051787 , Zbl 0707.05007
- Gessel, Ira ; Stanton, Dennis (1985), "Pruebas breves de los teoremas de Saalschütz y Dixon", Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 38 (1): 87–90, doi : 10.1016 / 0097-3165 (85) 90026-3 , ISSN 1096 -0899 , MR 0.773.560 , Zbl 0.559,05008
- Ward, James (1991), "100 años de la identidad de Dixon", Irish Mathematical Society Bulletin (27): 46–54, ISSN 0791-5578 , MR 1185413 , Zbl 0795.01009
- Wilf, Herbert S. (1994), Generatingfunctionology (2a ed.), Boston, MA: Academic Press, ISBN 0-12-751956-4, Zbl 0831.05001