En matemáticas , las series hipergeométricas básicas , o q -series hipergeométricas , son q -generalizaciones analógicas de series hipergeométricas generalizadas y, a su vez, se generalizan mediante series hipergeométricas elípticas . Una serie x n se llama hipergeométrica si la razón de términos sucesivos x n +1 / x n es una función racional de n . Si la razón de términos sucesivos es una función racional de q n , entonces la serie se llama serie hipergeométrica básica. El númeroq se llama base.
La serie hipergeométrica básica 2 φ 1 ( q α , q β ; q γ ; q , x ) fue considerada por primera vez por Eduard Heine ( 1846 ). Se convierte en la serie hipergeométrica F (α, β; γ; x ) en el límite cuando la base q es 1.
Definición
Hay dos formas de series hipergeométricas básicas, la serie hipergeométrica básica unilateral φ y la serie hipergeométrica básica bilateral más general ψ. La serie hipergeométrica básica unilateral se define como
dónde
y
es el factorial con desplazamiento q . El caso especial más importante es cuando j = k + 1, cuando se convierte en
Esta serie se llama balanceada si a 1 ... a k + 1 = b 1 ... b k q . Esta serie se llama bien equilibrada si a 1 q = a 2 b 1 = ... = a k + 1 b k , y muy bien equilibrada si además a 2 = - a 3 = qa 1 1/2 . La serie hipergeométrica básica unilateral es un q-análogo de la serie hipergeométrica ya que
sostiene ( Koekoek y Swarttouw (1996) ).
La serie hipergeométrica básica bilateral , correspondiente a la serie hipergeométrica bilateral , se define como
El caso especial más importante es cuando j = k , cuando se convierte en
La serie unilateral se puede obtener como un caso especial de la bilateral mediante el establecimiento de uno de los b variables de igual a q , al menos cuando ninguna de las una variables es una potencia de q , ya que todos los términos con n <0, entonces se desvanecen.
Serie simple
Algunas expresiones de series simples incluyen
y
y
El teorema q -binomial
El teorema q -binomial (publicado por primera vez en 1811 por Heinrich August Rothe ) [1] [2] establece que
que sigue aplicando repetidamente la identidad
El caso especial de a = 0 está estrechamente relacionado con el q-exponencial .
Teorema del binomio de Cauchy
El teorema del binomio de Cauchy es un caso especial del teorema del binomio q. [3]
Identidad de Ramanujan
Srinivasa Ramanujan dio la identidad
válido para | q | <1 y | b / a | <| z | <1. Identidades similares parahan sido dadas por Bailey. Estas identidades pueden entenderse como generalizaciones del teorema del triple producto de Jacobi , que se puede escribir utilizando la serie q como
Ken Ono da una serie de poderes formales relacionados [4]
Integral de contorno de Watson
Como análogo de la integral de Barnes para la serie hipergeométrica, Watson demostró que
donde los polos de se encuentran a la izquierda del contorno y los polos restantes se encuentran a la derecha. Existe una integral de contorno similar para r +1 φ r . Esta integral de contorno da una continuación analítica de la función hipergeométrica básica en z .
Versión de matriz
La función de matriz hipergeométrica básica se puede definir de la siguiente manera:
La prueba de razón muestra que esta función matricial es absolutamente convergente. [5]
Ver también
Notas
- ^ Bressoud, DM (1981), "Algunas identidades para terminar la serie q ", Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 89 (2): 211-223, Bibcode : 1981MPCPS..89..211B , doi : 10.1017 / S0305004100058114 , MR 0600238.
- ^ Benaoum, HB, " h -análogo de la fórmula binomial de Newton", Journal of Physics A: Mathematical and General , 31 (46): L751 – L754, arXiv : math-ph / 9812011 , Bibcode : 1998JPhA ... 31L.751B , doi : 10.1088 / 0305-4470 / 31/46/001.
- ^ Wolfram Mathworld: Teorema del binomio de Cauchy
- ^ Gwynneth H. Coogan y Ken Ono , Una identidad de serie q y la aritmética de las funciones de Hurwitz Zeta , (2003) Actas de la American Mathematical Society 131 , págs. 719-724
- ^ Ahmed Salem (2014) La función de matriz hipergeométrica básica de Gauss y su ecuación de diferencia q de matriz, Álgebra lineal y multilineal, 62: 3, 347-361, DOI: 10.1080 / 03081087.2013.777437
enlaces externos
Referencias
- Andrews, GE (2010), "q-Hypergeometric and Related Functions" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- WN Bailey, Serie hipergeométrica generalizada , (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No 32, Cambridge University Press, Cambridge.
- William YC Chen y Amy Fu, Formas semifinitas de series hipergeométricas básicas bilaterales (2004)
- Exton , H. (1983), q-Funciones y aplicaciones hipergeométricas , Nueva York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538
- Sylvie Corteel y Jeremy Lovejoy, particiones de Frobenius y la combinatoria de Ramanujan 1 ψ 1 {\ Displaystyle \, _ {1} \ psi _ {1}} Suma
- Fine, Nathan J. (1988), series y aplicaciones hipergeométricas básicas , estudios y monografías matemáticas, 27 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1524-3, MR 0956465
- Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Serie hipergeométrica básica , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 96 (2a ed.), Cambridge University Press , doi : 10.2277 / 0521833574 , ISBN 978-0-521-83357-8, MR 2128719
- Heine, Eduard (1846), "Über die Reihe 1 + ( q α - 1 ) ( q β - 1 ) ( q - 1 ) ( q γ - 1 ) X + ( q α - 1 ) ( q α + 1 - 1 ) ( q β - 1 ) ( q β + 1 - 1 ) ( q - 1 ) ( q 2 - 1 ) ( q γ - 1 ) ( q γ + 1 - 1 ) X 2 + ⋯ {\ Displaystyle 1 + {\ frac {(q ^ {\ alpha} -1) (q ^ {\ beta} -1)} {(q-1) (q ^ {\ gamma} -1)}} x + { \ frac {(q ^ {\ alpha} -1) (q ^ {\ alpha +1} -1) (q ^ {\ beta} -1) (q ^ {\ beta +1} -1)} {( q-1) (q ^ {2} -1) (q ^ {\ gamma} -1) (q ^ {\ gamma +1} -1)}} x ^ {2} + \ cdots} " , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 32 : 210-212
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- Andrews, GE, Askey, R. y Roy, R. (1999). Funciones especiales, Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, volumen 71, Cambridge University Press .
- Eduard Heine , Theorie der Kugelfunctionen , (1878) 1 , págs. 97-125.
- Eduard Heine, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlín.