En matemáticas , la función hipergeométrica gaussiana u ordinaria 2 F 1 ( a , b , c , z ) es una función especial representada por la serie hipergeométrica , que incluye muchas otras funciones especiales como casos específicos o límites . Es una solución de una ecuación diferencial ordinaria (EDO) lineal de segundo orden. Toda EDO lineal de segundo orden con tres puntos singulares regulares se puede transformar en esta ecuación.
Para obtener listas sistemáticas de algunas de las muchas miles de identidades publicadas que involucran la función hipergeométrica, consulte los trabajos de referencia de Erdélyi et al. (1953) y Olde Daalhuis (2010) . No existe un sistema conocido para organizar todas las identidades; de hecho, no existe ningún algoritmo conocido que pueda generar todas las identidades; se conocen varios algoritmos diferentes que generan diferentes series de identidades. La teoría del descubrimiento algorítmico de identidades sigue siendo un tema de investigación activo.
El término "serie hipergeométrica" fue utilizado por primera vez por John Wallis en su libro Arithmetica Infinitorum de 1655 .
Las series hipergeométricas fueron estudiadas por Leonhard Euler , pero el primer tratamiento sistemático completo lo dio Carl Friedrich Gauss ( 1813 ).
Los estudios del siglo XIX incluyeron los de Ernst Kummer ( 1836 ), y la caracterización fundamental de Bernhard Riemann ( 1857 ) de la función hipergeométrica por medio de la ecuación diferencial que satisface.
Riemann demostró que la ecuación diferencial de segundo orden para 2 F 1 ( z ), examinada en el plano complejo, podía caracterizarse (en la esfera de Riemann ) por sus tres singularidades regulares .