En la teoría de la probabilidad , el teorema de Donsker (también conocido como principio de invariancia de Donsker , o el teorema del límite central funcional ), llamado así por Monroe D. Donsker , es una extensión funcional del teorema del límite central .
Dejar ser una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid) con media 0 y varianza 1. Sea. El proceso estocásticose conoce como paseo aleatorio . Defina la caminata aleatoria reescalada de manera difusa (proceso de suma parcial) por
El teorema del límite central afirma que converge en distribución a una variable aleatoria gaussiana estándar como . El principio de invariancia de Donsker [1] [2] extiende esta convergencia a toda la función. Más precisamente, en su forma moderna, el principio de invariancia de Donsker establece que: Como variables aleatorias que toman valores en el espacio de Skorokhod , la función aleatoria converge en distribución a un movimiento browniano estándar como
Historia
Sea F n la función de distribución empírica de la secuencia de iid variables aleatoriascon función de distribución F. Defina la versión centrada y escalada de F n por
indexado por x ∈ R . Según el teorema clásico del límite central , para x fijo , la variable aleatoria G n ( x ) converge en distribución a una variable aleatoria gaussiana (normal) G ( x ) con media cero y varianza F ( x ) (1 - F ( x ) ) a medida que crece el tamaño de la muestra n .
Teorema (Donsker, Skorokhod, Kolmogorov) La secuencia de G n ( x ), como elementos aleatorios del espacio Skorokhod , converge en distribución a un proceso gaussiano G con media cero y covarianza dadas por
El proceso G ( x ) se puede escribir como B ( F ( x )) donde B es un puente browniano estándar en el intervalo unitario.
Kolmogorov (1933) demostró que cuando F es continua , el supremo y superior al valor absoluto, converge en distribución a las leyes de los mismos funcionales del puente browniano B ( t ), ver la prueba de Kolmogorov-Smirnov . En 1949, Doob preguntó si la convergencia en la distribución era válida para funciones más generales, formulando así un problema de convergencia débil de funciones aleatorias en un espacio funcional adecuado . [3]
En 1952 Donsker declaró y demostró (no del todo correctamente) [4] una extensión general del enfoque heurístico de Doob-Kolmogorov. En el artículo original, Donsker demostró que la convergencia en la ley de G n al puente browniano es válida para distribuciones uniformes [0,1] con respecto a la convergencia uniforme en t en el intervalo [0,1]. [2]
Sin embargo, la formulación de Donsker no era del todo correcta debido al problema de la mensurabilidad de las funciones de los procesos discontinuos. En 1956, Skorokhod y Kolmogorov definieron una métrica separable d , llamada métrica de Skorokhod , en el espacio de funciones càdlàg en [0,1], de manera que la convergencia de d a una función continua es equivalente a la convergencia de la norma sup, y mostraron que G n converge en derecho en al puente de Brownian.
Más tarde, Dudley reformuló el resultado de Donsker para evitar el problema de la mensurabilidad y la necesidad de la métrica Skorokhod. Se puede probar [4] que existe X i , iid uniforme en [0,1] y una secuencia de puentes brownianos muestra-continuos B n , tal que
es medible y converge en probabilidad a 0. Una versión mejorada de este resultado, que proporciona más detalles sobre la tasa de convergencia, es la aproximación de Komlós-Major-Tusnády .
Ver también
Referencias
- ^ Donsker, MD (1951). "Un principio de invariancia para ciertos teoremas de límite de probabilidad". Memorias de la American Mathematical Society (6). Señor 0040613 .
- ^ a b Donsker, MD (1952). "Justificación y extensión del enfoque heurístico de Doob a los teoremas de Kolmogorov-Smirnov" . Anales de estadística matemática . 23 (2): 277–281. doi : 10.1214 / aoms / 1177729445 . Señor 0047288 . Zbl 0046.35103 .
- ^ Doob, Joseph L. (1949). "Enfoque heurístico de los teoremas de Kolmogorov-Smirnov" . Anales de estadística matemática . 20 (3): 393–403. doi : 10.1214 / aoms / 1177729991 . Señor 0030732 . Zbl 0035.08901 .
- ^ a b Dudley, RM (1999). Teoremas uniformes del límite central . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-46102-3.