En matemáticas , una función càdlàg (francés: " continue à droite, limite à gauche "), RCLL ("derecha continua con límites izquierdos") o corlol ("continua a (la) derecha, límite a (la) izquierda") es una función definida en los números reales (o un subconjunto de ellos) que es continua a la derecha en todas partes y tiene límites a la izquierda en todas partes. Las funciones de Càdlàg son importantes en el estudio de procesos estocásticos que admiten (o incluso requieren) saltos, a diferencia del movimiento browniano , que tiene trayectorias de muestra continuas. La colección de funciones càdlàg en un dominio dadose conoce como espacio Skorokhod .
Dos términos relacionados son càglàd , que significa "continue à gauche, limite à droite", la inversión de izquierda a derecha de càdlàg, y càllàl para "continue à l'un, limite à l'autre" (continuo en un lado, límite en el otro lado), para una función que es indistintamente càdlàg o càglàd en cada punto del dominio.
Definición
Deje que ( M , d ) sea un espacio métrico , y dejar E ⊆ R . Una función ƒ : E → M se llama función càdlàg si, para todo t ∈ E ,
- el límite izquierdo ƒ ( t− ): = lim s ↑ t ƒ ( s ) existe; y
- el límite derecho ƒ ( t + ): = lim s ↓ t ƒ ( s ) existe y es igual a ƒ ( t ).
Es decir, f es continua a la derecha con límites izquierdos.
Ejemplos de
- Todas las funciones continuas en un subconjunto de los números reales son funciones càdlàg en ese subconjunto.
- Como consecuencia de su definición, todas las funciones de distribución acumulativas son funciones càdlàg. Por ejemplo, el acumulativo en el punto corresponden a la probabilidad de ser menor o igual que , a saber . En otras palabras, el intervalo semiabierto de interés para una distribución de dos colas está cerrado a la derecha.
- La derivada derecha de cualquier función convexa f definida en un intervalo abierto, es una función cadlag creciente.
Espacio Skorokhod
El conjunto de todas las funciones de càdlàg de E a M a menudo se denota por D ( E ; M ) (o simplemente D ) y se llama espacio Skorokhod en honor al matemático ucraniano Anatoliy Skorokhod . Al espacio de Skorokhod se le puede asignar una topología que, intuitivamente, nos permite "mover un poco el espacio y el tiempo" (mientras que la topología tradicional de convergencia uniforme solo nos permite "mover un poco el espacio"). Para simplificar, tome E = [0, T ] y M = R n - vea Billingsley [1] para una construcción más general.
Primero debemos definir un análogo del módulo de continuidad , ϖ ′ ƒ ( δ ) . Para cualquier F ⊆ E , establezca
y, para δ > 0 , defina el módulo càdlàg como
donde el mínimo corre sobre todas las particiones Π = {0 = t 0 < t 1 <… < t k = T }, k ∈ N , con min i ( t i - t i −1 )> δ . Esta definición tiene sentido para non-càdlàg ƒ (al igual que el módulo de continuidad habitual tiene sentido para funciones discontinuas) y se puede demostrar que ƒ es càdlàg si y solo si ϖ ′ ƒ ( δ ) → 0 cuando δ → 0 .
Ahora denotemos con Λ el conjunto de todas las biyecciones continuas y estrictamente crecientes desde E hacia sí mismo (estos son "meneos en el tiempo"). Dejar
denotar la norma uniforme sobre las funciones de E . Defina la métrica de Skorokhod σ en D por
donde I : E → E es la función de identidad. En términos de la intuición de "meneo", || λ - I || mide el tamaño del "meneo en el tiempo", y || ƒ - g ○ λ || mide el tamaño del "meneo en el espacio".
Se puede demostrar que la métrica de Skorokhod es de hecho una métrica. La topología generada por Σ σ se llama la topología Skorokhod en D .
Una métrica equivalente,
se introdujo de forma independiente y se utilizó en la teoría de control para el análisis de sistemas de conmutación [2] .
Propiedades del espacio Skorokhod
Generalización de la topología uniforme
El espacio C de funciones continuas sobre E es un subespacio de D . La topología de Skorokhod relativizada a C coincide con la topología uniforme allí.
Lo completo
Se puede demostrar que, aunque D no es un espacio completo con respecto a la métrica de Skorokhod σ , existe una métrica topológicamente equivalente σ 0 con respecto a la cual D es completa. [3]
Posibilidad de separación
Con respecto a σ o σ 0 , D es un espacio separable . Por lo tanto, el espacio Skorokhod es un espacio polaco .
Estanqueidad en el espacio Skorokhod
Mediante una aplicación del teorema de Arzelà-Ascoli , se puede demostrar que una secuencia ( μ n ) n = 1,2, ... de medidas de probabilidad en el espacio D de Skorokhod es ajustada si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:
y
Estructura algebraica y topológica
Bajo la topología de Skorokhod y la adición puntual de funciones, D no es un grupo topológico, como puede verse en el siguiente ejemplo:
Dejar ser la unidad de intervalo y tomar ser una secuencia de funciones características. A pesar de que en la topología Skorokhod, la secuencia no converge a 0.
Referencias
- ^ Billingsley, P. Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York: Wiley.
- ^ Georgiou, TT y Smith, MC (2000). "Robustez de un oscilador de relajación". Revista Internacional de Control Robusto y No Lineal . 10 (11-12): 1005-1024. doi : 10.1002 / 1099-1239 (200009/10) 10: 11/12 <1005 :: AID-RNC536> 3.0.CO; 2-Q .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace ).
- ^ Billingsley, P. Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York: Wiley.
Otras lecturas
- Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida . Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
- Billingsley, Patrick (1999). Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.