descomposición LU
En análisis numérico y álgebra lineal , la descomposición o factorización inferior-superior ( LU ) factoriza una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una matriz triangular superior. El producto a veces también incluye una matriz de permutación. La descomposición LU puede verse como la forma matricial de la eliminación gaussiana . Las computadoras generalmente resuelven sistemas cuadrados de ecuaciones lineales usando la descomposición LU, y también es un paso clave cuando se invierte una matriz o se calcula el determinante .de una matriz. La descomposición LU fue introducida por el matemático polaco Tadeusz Banachiewicz en 1938. [1]
Sea A una matriz cuadrada. Una factorización LU se refiere a la factorización de A , con ordenaciones o permutaciones de fila y/o columna adecuadas, en dos factores: una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U :
En la matriz triangular inferior todos los elementos por encima de la diagonal son cero, en la matriz triangular superior todos los elementos por debajo de la diagonal son cero. Por ejemplo, para una matriz A de 3 × 3 , su descomposición LU se ve así:
Sin un orden adecuado o permutaciones en la matriz, la factorización puede fallar en materializarse. Por ejemplo, es fácil verificar (al expandir la multiplicación de matrices) que . Si , entonces al menos uno de y tiene que ser cero, lo que implica que L o U son singulares . Esto es imposible si A es no singular (invertible). Este es un problema de procedimiento. Se puede eliminar simplemente reordenando las filas de A para que el primer elemento de la matriz permutada sea distinto de cero. El mismo problema en los pasos de factorización posteriores se puede eliminar de la misma manera; consulte el procedimiento básico a continuación.
Resulta que una permutación adecuada en filas (o columnas) es suficiente para la factorización LU. La factorización LU con pivote parcial (LUP) se refiere a menudo a la factorización LU solo con permutaciones de fila:
donde L y U son nuevamente matrices triangulares inferior y superior, y P es una matriz de permutación que, cuando se multiplica por la izquierda a A , reordena las filas de A. Resulta que todas las matrices cuadradas se pueden factorizar de esta forma, [2] y la factorización es numéricamente estable en la práctica. [3] Esto hace que la descomposición LUP sea una técnica útil en la práctica.
