En matemáticas , una matriz de Walsh es una matriz cuadrada específica de dimensiones 2 n , donde n son un número natural particular. Las entradas de la matriz son +1 o -1 y sus filas y columnas son ortogonales, es decir, el producto escalar es cero. La matriz de Walsh fue propuesta por Joseph L. Walsh en 1923. [1] Cada fila de una matriz de Walsh corresponde a una función de Walsh .
Matriz de Walsh de orden 16 multiplicada por un vector
Matriz Hadamard ordenada naturalmente permutada en matriz Hadamard ordenada en secuencia. El número de cambios de signo por fila en la matriz ordenada naturalmente es (0, 15, 7, 8, 3, 12, 4, 11, 1, 14, 6, 9, 2, 13, 5, 10), en la secuencia -matriz ordenada el número de cambios de signo es consecutivo.
Matriz binaria de Walsh como
producto matricial . La matriz binaria (blanco 0, rojo 1) es el resultado con operaciones en
F 2 . Los números grises muestran el resultado con operaciones en
R .
Las matrices de Walsh son un caso especial de matrices de Hadamard . La matriz de Hadamard ordenada naturalmente se define mediante la fórmula recursiva a continuación, y la matriz de Hadamard ordenada en secuencia se forma reordenando las filas de modo que el número de cambios de signo en una fila sea en orden creciente. [1] De manera confusa, diferentes fuentes se refieren a cualquiera de las matrices como la matriz de Walsh.
La matriz de Walsh (y las funciones de Walsh ) se utilizan en el cálculo de la transformada de Walsh y tienen aplicaciones en la implementación eficiente de ciertas operaciones de procesamiento de señales.
Las matrices de Hadamard de dimensión 2 k para k ∈ N están dadas por la fórmula recursiva (el orden más bajo de la matriz de Hadamard es 2):
y en general
para 2 ≤ k ∈ N , donde ⊗ denota el producto Kronecker .
Permutación
Reorganice las filas de la matriz de acuerdo con el número de cambio de signo de cada fila. Por ejemplo, en
las filas sucesivas tienen cambios de signo 0, 3, 1 y 2. Si reorganizamos las filas en orden secuencial:
entonces las filas sucesivas tienen 0, 1, 2 y 3 cambios de signo.
Formas alternativas de la matriz de Walsh
Orden de secuencia
El orden de secuencia de las filas de la matriz de Walsh se puede derivar del orden de la matriz de Hadamard aplicando primero la permutación de inversión de bits y luego la permutación del código Gray : [2]
donde las filas sucesivas tienen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 cambios de signo.
Orden diádico
donde las filas sucesivas tienen cambios de signo 0, 1, 3, 2, 7, 6, 4 y 5.
Orden natural
donde las filas sucesivas tienen 0, 7, 3, 4, 1, 6, 2 y 5 cambios de signo.