En la rama del álgebra abstracta llamada teoría de anillos , el teorema del doble centralizador puede referirse a cualquiera de varios resultados similares. Estos resultados se refieren al centralizador de un subanillo S de un anillo R , denominado C R ( S ) en este artículo. Siempre se da el caso de que C R ( C R ( S )) contiene S , y un teorema del doble centralizador da condiciones sobre R y S que garantizan que C R ( C R (S )) es igual a S .
Claramente C R ( C R ( S )) ⊇ S , pero no siempre se puede decir que los dos conjuntos son iguales. Los teoremas del doble centralizador dan condiciones bajo las cuales uno puede concluir que ocurre la igualdad.
Hay otro caso especial de interés. Sea M un módulo R derecho y dé a M la estructura de módulo E izquierdo natural , donde E es End( M ), el anillo de endomorfismos del grupo abeliano M . Todo morfismo m r dado por m r ( x ) = xr crea un endomorfismo aditivo de M , es decir, un elemento de E . La función r → m r es un homomorfismo de anillos de R en el anillo E, y denotamos la imagen de R dentro de E por R M . Se puede comprobar que el núcleo de este mapa canónico es el aniquilador Ann( M R ). Por lo tanto, por un teorema de isomorfismo para anillos, R M es isomorfo al anillo cociente R /Ann( M R ). Claramente, cuando M es un módulo fiel , R y R M son anillos isomorfos.
Así que ahora E es un anillo con R M como subanillo, y se puede formar C E ( R M ). Por definición, se puede comprobar que C E ( R M ) = End( M R ), el anillo de endomorfismos del módulo R de M . Así, si ocurre que C E ( C E ( R M )) = R M , esto es lo mismo que decir C E (End( M R )) = R M .
Quizás la versión más común es la versión para álgebras simples centrales , tal como aparece en ( Knapp 2007 , p.115):
Teorema : Si A es un álgebra simple central de dimensión finita sobre un campo F y B es una subálgebra simple de A , entonces C A ( C A ( B )) = B , y además las dimensiones satisfacen