En matemáticas , el aniquilador de un subconjunto S de un módulo sobre un anillo es el ideales formado por los elementos del anillo que le dan siempre cero cuando se multiplica por un elemento de S .
Sobre un dominio integral , un módulo que tiene un aniquilador distinto de cero es un módulo de torsión , y un módulo de torsión generado finita tiene un aniquilador distinto de cero.
La definición anterior se aplica también en el caso de anillos no conmutativos , donde el aniquilador izquierdo de un módulo izquierdo es un ideal izquierdo , y el aniquilador derecho , de un módulo derecho es un ideal derecho .
Definiciones
Deje que R sea un anillo , y dejar que M sea una izquierda R - módulo . Elija una que no esté vacía subconjunto S de M . El aniquilador de S , denotado Ann R ( S ), es el conjunto de todos los elementos r en R tales que, para todos los s en S , rs = 0 . [1] En notación de conjuntos,
Es el conjunto de todos los elementos de R que "aniquilan" a S (los elementos para los que S es un conjunto de torsión). También se pueden usar subconjuntos de módulos correctos, después de la modificación de " sr = 0 " en la definición.
El aniquilador de un solo elemento x generalmente se escribe Ann R ( x ) en lugar de Ann R ({ x }). Si el anillo R se puede entender por el contexto, se puede omitir el subíndice R.
Dado que R es un módulo sobre sí mismo, S puede tomarse como un subconjunto de R mismo, y dado que R es un módulo R derecho e izquierdo , la notación debe modificarse ligeramente para indicar el lado izquierdo o derecho. Por lo general y o algún esquema de subíndice similar se usa para distinguir los aniquiladores izquierdo y derecho, si es necesario.
Si M es un módulo R y Ann R ( M ) = 0 , entonces M se llama módulo fiel .
Propiedades
Si S es un subconjunto de una izquierda R módulo M , a continuación, Ann ( S ) es un izquierda ideales de R . [2]
Si S es un submódulo de M , a continuación, Ann R ( S ) es incluso un ideales de dos caras: ( ac ) s = un ( cs ) = 0, puesto que cs es otro elemento de S . [3]
Si S es un subconjunto de M y N es el submódulo de M generado por S , entonces, en general, Ann R ( N ) es un subconjunto de Ann R ( S ), pero no son necesariamente iguales. Si R es conmutativa , entonces se mantiene la igualdad.
M también puede verse como un módulo R / Ann R ( M ) usando la acción. Por cierto, no siempre es posible convertir un módulo R en un módulo R / I de esta manera, pero si el I ideal es un subconjunto del aniquilador de M , entonces esta acción está bien definida. Considerado como un módulo R / Ann R ( M ), M es automáticamente un módulo fiel.
Para anillos conmutativos
A lo largo de esta sección, deje ser un anillo conmutativo y un generado finitamente (para abreviar, finito) -módulo.
Relación con el apoyo
Recuerde que el soporte de un módulo se define como
Entonces, cuando el módulo se genera finitamente, existe la relación
- ,
dónde es el conjunto de ideales primos que contiene el subconjunto. [4]
Secuencias breves y exactas
Dada una breve secuencia exacta de módulos,
la propiedad de soporte
junto con la relación con el aniquilador implica
Por eso,
Esto se puede aplicar al cálculo del aniquilador de una suma directa de módulos, como
Módulos de cociente y aniquiladores
Dado un ideal y deja ser un módulo finito, entonces existe la relación
en el soporte. Usando la relación de soporte, esto da la relación con el aniquilador [6]
Ejemplos de
Sobre los enteros
Encima cualquier módulo generado finitamente se clasifica completamente como la suma directa de su parte libre con su parte de torsión del teorema fundamental de los grupos abelianos. Entonces, el aniquilador de un módulo finito no es trivial solo si es completamente torsión. Esto es porque
ya que el único elemento que mata a cada uno de los es . Por ejemplo, el aniquilador de es
el ideal generado por . De hecho, el aniquilador de un módulo de torsión.
es isomorfo al ideal generado por su mínimo común múltiplo, . Esto muestra que los aniquiladores se pueden clasificar fácilmente entre los números enteros.
Sobre un anillo conmutativo R
De hecho, existe un cálculo similar que se puede realizar para cualquier módulo finito sobre un anillo conmutativo. . Recuerde que la definición de finitud de implica que existe una secuencia correcta-exacta, llamada presentación, dada por
dónde es en . Escritura explícitamente como una matriz lo da como
por eso tiene la descomposición de suma directa
Si escribimos cada uno de estos ideales como
entonces el ideal dada por
presenta el aniquilador.
Más de k [ x , y ]
Sobre el anillo conmutativo para un campo , el aniquilador del módulo
está dado por el ideal
Condiciones de cadena sobre ideales aniquiladores
La celosía de ideales de la formadonde S es un subconjunto de R comprenden una red completa cuando se ordenan parcialmente por inclusión. Es interesante estudiar los anillos para los que esta red (o su contraparte derecha) satisfaga la condición de cadena ascendente o la condición de cadena descendente .
Denote el entramado de ideales aniquiladores de izquierda de R comoy el entramado de ideales aniquiladores de derecha de R como. Se sabe que satisface el ACC si y solo si satisface el DCC, y simétricamente satisface el ACC si y solo si satisface el DCC Si cualquiera de las celosías tiene cualquiera de estas condiciones de cadena, entonces R no tiene conjuntos ortogonales infinitos de idempotentes . ( Anderson y 1992, p . 322 ) ( Lam 1999 )
Si R es un anillo para el quesatisface el ACC y R R tiene una dimensión uniforme finita , entonces R se llama anillo de Goldie izquierdo . ( Lam 1999 )
Descripción de la teoría de categorías para anillos conmutativos
Cuando R es conmutativo y M es un módulo R , podemos describir Ann R ( M ) como el núcleo del mapa de acción R → Fin R ( M ) determinado por el mapa adjunto de la identidad M → M a lo largo del Hom-tensor adjunción .
De manera más general, dado un mapa bilineal de módulos, el aniquilador de un subconjunto es el conjunto de todos los elementos en que aniquilan :
Por el contrario, dado , se puede definir un aniquilador como un subconjunto de .
El aniquilador da una conexión de Galois entre subconjuntos de y , y el operador de cierre asociado es más fuerte que el tramo. En particular:
- los aniquiladores son submódulos
Un caso especial importante es la presencia de una forma no degenerada en un espacio vectorial , particularmente un producto interno : luego el aniquilador asociado al mapase llama complemento ortogonal .
Relaciones con otras propiedades de los anillos.
Dado un módulo M sobre un anillo conmutativo Noetherian R , un ideal primo de R que es un aniquilador de un elemento no nulo de M se llama un primer asociado de M .
- Los aniquiladores se utilizan para definir anillos Rickart izquierdos y anillos Baer .
- El conjunto de divisores cero (izquierda) D S de S se puede escribir como
(Aquí permitimos que cero sea un divisor de cero).
- En particular, D R es el conjunto de divisores cero (izquierda) de R tomando S = R y R actuando sobre sí mismo como un módulo R izquierdo .
- Cuando R es conmutativo y noetheriano , el conjuntoes precisamente igual a la unión de los números primos asociados de la R -módulo R .
Ver también
- Zócalo
- Soporte de un módulo
Notas
- ^ Pierce (1982), p. 23.
- ^ Prueba: Si un y b tanto aniquilan S , entonces para cada s en S , ( un + b ) s = como + Bs = 0, y para cualquier r en R , ( ra ) s = r ( como ) = r 0 = 0.
- ^ Pierce (1982), p. 23, Lema b, ítem (i).
- ^ "Lema 10.39.5 (00L2) —El proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 13 de mayo de 2020 .
- ^ "Lema 10.39.9 (00L3) —El proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 13 de mayo de 2020 .
- ^ "Lema 10.39.9 (00L3) —El proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 13 de mayo de 2020 .
Referencias
- Anderson, Frank W .; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de posgrado en matemáticas , 13 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp. X + 376, doi : 10.1007 / 978-1-4612- 4418-9 , ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
- Israel Nathan Herstein (1968) Anillos no conmutativos , Carus Mathematical Monographs # 15, Asociación Matemática de América , página 3.
- Lam, Tsit Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 228–232, doi : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
- Richard S. Pierce. Álgebras asociativas . Textos de posgrado en matemáticas, Vol. 88, Springer-Verlag, 1982, ISBN 978-0-387-90693-5