doble grupoide
En matemáticas , especialmente en álgebra de dimensiones superiores y teoría de la homotopía , un doble grupoide generaliza la noción de grupoide y de categoría a una dimensión superior.
Un grupoide doble D es un grupoide de dimensiones superiores que implica una relación para las estructuras de grupoide "horizontal" y "vertical". [1] (Un doble grupoide también se puede considerar como una generalización de ciertos grupos de dimensiones superiores. [2] ) La geometría de los cuadrados y sus composiciones conduce a una representación común de un doble grupoide en el siguiente diagrama :
donde M es un conjunto de 'puntos', H y V son, respectivamente, groupoides 'horizontales' y 'verticales', y S es un conjunto de 'cuadrados' con dos composiciones. Las leyes de composición para un doble grupoide D lo hacen también descriptible como un grupoide interno a la categoría de los groupoides .
Dados dos grupoides H y V sobre un conjunto M , hay un grupoide doble con H,V como grupoides de borde horizontal y vertical, y cuadrados dados por cuádruples
para lo cual se supone siempre que h, h′ están en H yv, v′ están en V , y que los puntos inicial y final de estas aristas coinciden en M como sugiere la notación; es decir, por ejemplo, sh = sv, th = sv', ..., etc. Las composiciones se heredan de las de H,V ; es decir:
Esta construcción es el adjunto derecho al funtor olvidadizo que toma el grupoide doble como arriba, al par de grupoides H,V sobre M .