En matemáticas , especialmente en teoría de categorías y teoría de homotopía , un grupoide (con menos frecuencia grupoide de Brandt o grupo virtual ) generaliza la noción de grupo de varias formas equivalentes. Un grupoide puede verse como:
- Agrupar con una función parcial que reemplaza la operación binaria ;
- Categoría en la que todo morfismo es invertible. Una categoría de este tipo puede verse como aumentada con una operación unaria , llamada inversa por analogía con la teoría de grupos . [1] Un grupoide donde solo hay un objeto es un grupo habitual.
En presencia de tipificación dependiente , una categoría en general puede verse como un monoide tipificado y, de manera similar, un grouppoide puede verse simplemente como un grupo tipificado. Los morfismos llevan uno de un objeto a otro y forman una familia de tipos dependiente, por lo que los morfismos podrían tipificarse, , decir. La composición es entonces una función total:, así que eso .
Los casos especiales incluyen:
- Setoides : conjuntos que vienen con una relación de equivalencia ,
- G-sets : conjuntos equipados con una acción de un grupo.
Los grupoides se utilizan a menudo para razonar sobre objetos geométricos como variedades . Heinrich Brandt ( 1927 ) introdujo los grupos de forma implícita a través de los semigrupos de Brandt . [2]
Definiciones
Un grupoide es una estructura algebraica que consta de un conjunto no vacío y una función parcial binaria ''definido en .
Algebraico
Un grupoide es un conjunto con una operación unaria y una función parcial . Aquí * no es una operación binaria porque no está necesariamente definida para todos los pares de elementos de. Las condiciones precisas bajo las cuales se define no se articulan aquí y varían según la situación.
y −1 tienen las siguientes propiedades axiomáticas: Para todos, , y en ,
- Asociatividad : Si y están definidos, entonces y están definidos y son iguales. Por el contrario, si uno de y está definido, entonces también lo están ambos y así como = .
- Inversa : y siempre están definidos.
- Identidad : Si está definido, entonces , y . (Los dos axiomas anteriores ya muestran que estas expresiones están definidas y son inequívocas).
De estos axiomas se siguen dos propiedades fáciles y convenientes:
- ,
- Si está definido, entonces . [3]
Teórico de la categoría
Un grupoide es una pequeña categoría en la que todo morfismo es un isomorfismo , es decir, invertible. [1] Más precisamente, un grupoide G es:
- Un conjunto G 0 de objetos ;
- Para cada par de objetos x y Y en G 0 , existe una (posiblemente vacío) establecer G ( x , y ) de morfismos (o flechas ) a partir de x a y . Escribimos f : x → y para indicar que f es un elemento de G ( x , y ).
- Para cada objeto x , un elemento designadode G ( x , x );
- Para cada triple de objetos x , y y z , una función ;
- Para cada par de objetos x , y una función;
satisfactorio, para cualquier f : x → y , g : y → z , y h : z → w :
- y ;
- ;
- y .
Si f es un elemento de G ( x , y ), entonces x se llama la fuente de f , se escribe s ( f ), e y se llama el objetivo de f , se escribe t ( f ). Un grupoide G a veces se denota como, dónde es el conjunto de todos los morfismos, y las dos flechas representan la fuente y el destino.
De manera más general, se puede considerar un objeto grupoide en una categoría arbitraria que admite productos de fibra finitos.
Comparando las definiciones
Las definiciones algebraicas y teóricas de categorías son equivalentes, como mostramos ahora. Dado un groupoid en el sentido de categoría-teórico, deja que G sea la unión de la desunión de todos los conjuntos de G ( x , y ) (es decir, los conjuntos de morfismos de x a y ). Luego y se convierten en operaciones parciales en G , yde hecho se definirá en todas partes. Definimos ∗ comoy −1 para ser, que da un groupoide en sentido algebraico. Referencia explícita a G 0 (y por tanto a) se puede dejar caer.
Por el contrario, dado un grupoide G en el sentido algebraico, defina una relación de equivalencia en sus elementos por sif a ∗ a −1 = b ∗ b −1 . Sea G 0 el conjunto de clases de equivalencia de, es decir . Denote a ∗ a −1 por Si con .
Ahora define como el conjunto de todos los elementos f tales queexiste. Dado y su compuesto se define como . Para ver que esto está bien definido, observe que desde y existe, también lo hace . El morfismo de identidad en x es entonces, y la inversa de la teoría de categorías de f es f −1 .
Los conjuntos de las definiciones anteriores pueden reemplazarse por clases , como suele ocurrir en la teoría de categorías.
Grupos de vértices y órbitas
Dado un groupoid G , los grupos de vértices o grupos isotropía o grupos de objetos en G son los subconjuntos de la forma G ( x , x ), donde x es cualquier objeto de G . De los axiomas anteriores se deduce fácilmente que estos son grupos, ya que cada par de elementos es componible y los inversos están en el mismo grupo de vértices.
La órbita de un grupoide G en un punto está dado por el conjunto que contiene todos los puntos que se pueden unir ax por un morfismo en G. Si dos puntos y están en las mismas órbitas, sus grupos de vértices y son isomorfos : si es algún morfismo de a , entonces el isomorfismo dado por el mapeo .
Las órbitas forman una partición del conjunto X, y un grupoide se llama transitivo si solo tiene una órbita (de manera equivalente, si está conectado como una categoría). En ese caso, todos los grupos de vértices son isomórficos (por otro lado, esta no es una condición suficiente para la transitividad; consulte la sección siguiente para ver contraejemplos).
Subgrupos y morfismos
Un subgrupo dees una subcategoría eso es en sí mismo un grupoide. Se llama ancho o completo si es ancho o completo como subcategoría, es decir, respectivamente, si o para cada .
Un morfismo grupoide es simplemente un functor entre dos grupoides (teóricos de categorías).
Son de interés los tipos particulares de morfismos de los grupoides. Un morfismode groupoids se llama fibración si para cada objeto de y cada morfismo de a partir de hay un morfismo de a partir de tal que . Una fibración se denomina morfismo de recubrimiento o recubrimiento de groupoids si, además, tales único. Los morfismos de cobertura de los grupoides son especialmente útiles porque se pueden utilizar para modelar mapas de cobertura de espacios. [4]
También es cierto que la categoría de morfismos de cobertura de un grupoide dado es equivalente a la categoría de acciones del grupoide en sets.
Ejemplos de
Topología
Dado un espacio topológico , dejar ser el set . Los morfismos desde el punto al punto son clases de equivalencia de caminos continuos desde a , siendo dos caminos equivalentes si son homotópicos . Dos de estos morfismos se componen siguiendo primero el primer camino, luego el segundo; la equivalencia de homotopía garantiza que esta composición es asociativa . Este grupoide se denomina grupoide fundamental de, denotado (o algunas veces, ). [5] El grupo fundamental habitual es entonces el grupo de vértices para el punto .
Las órbitas del grupoide fundamental son los componentes conectados a la ruta de . En consecuencia, el grupoide fundamental de un espacio conectado por caminos es transitivo, y recuperamos el hecho conocido de que los grupos fundamentales en cualquier punto base son isomorfos. Además, en este caso, el grupo fundamental y los grupos fundamentales son equivalentes como categorías (ver la sección siguiente para la teoría general).
Una extensión importante de esta idea es considerar el grupoide fundamental dónde es un conjunto elegido de "puntos base". Aquí es un subgrupo (ancho) de , donde se consideran solo las rutas cuyos extremos pertenecen a . El conjunto puede elegirse de acuerdo con la geometría de la situación en cuestión.
Relación de equivalencia
Si es un setoide , es decir, un conjunto con una relación de equivalencia , entonces un grupoide "que representa" esta relación de equivalencia se puede formar de la siguiente manera:
- Los objetos del grupoide son los elementos de ;
- Para dos elementos cualesquiera y en , hay un solo morfismo de a (denotamos por ) si y solo si ;
- La composición de y es .
Los grupos de vértices de este grupoide son siempre triviales; además, este grupoide no es en general transitivo y sus órbitas son precisamente las clases de equivalencia. Hay dos ejemplos extremos:
- Si cada elemento de está en relación con cualquier otro elemento de , obtenemos el par groupoid de, que tiene todo como conjunto de flechas, y que es transitivo.
- Si cada elemento de es sólo en relación consigo mismo, se obtiene la unidad grupoide , que tiene como un conjunto de flechas, , y que es completamente intransitivo (cada singleton es una órbita).
Acción de grupo
Si el grupo actúa en el set , entonces podemos formar el grupo de acción (o grupo de transformación ) que representa esta acción de grupo de la siguiente manera:
- Los objetos son los elementos de ;
- Para dos elementos cualesquiera y en , los morfismos de a corresponden a los elementos de tal que ;
- La composición de morfismos interpreta la operación binaria de.
Más explícitamente, el grupo de acción es una pequeña categoría con y y con mapas de origen y destino y . A menudo se denota (o para una acción correcta). La multiplicación (o composición) en el grupoide es entonces que se define siempre .
Para en , el grupo de vértices consta de aquellos con , que es solo el subgrupo de isotropía enpara la acción dada (razón por la cual los grupos de vértices también se denominan grupos de isotropía). De manera similar, las órbitas del grupo de acción son la órbita de la acción del grupo, y el grupo es transitivo si y solo si la acción del grupo es transitiva .
Otra forma de describir -sets es la categoría de functor , dónde es el grupoide (categoría) con un elemento e isomorfo al grupo. De hecho, cada functor de esta categoría define un conjunto y por cada en (es decir, para cada morfismo en ) induce una biyección : . La estructura categórica del funtor nos asegura que define un -acción en el set . El functor (único) representable : es la representación de Cayley de. De hecho, este funtor es isomorfo a y así envía al set que es por definición el "conjunto" y el morfismo de (es decir, el elemento de ) a la permutación del set . Deducimos de la incrustación de Yoneda que el grupo es isomorfo al grupo , un subgrupo del grupo de permutaciones de.
Conjunto finito
Considere la acción grupal de en el conjunto finito que lleva cada número a su negativo, por lo que y . El cociente grupoide es el conjunto de clases de equivalencia de esta acción de grupo , y tiene una acción grupal de en eso.
Variedad de cociente
Cualquier grupo finito que se asigna a dar una acción grupal en el espacio afín (ya que este es el grupo de automorfismos). Entonces, un cociente grupoide puede tener las formas, que tiene un punto con estabilizador Al origen. Ejemplos como estos forman la base de la teoría de los orbifolds . Otra familia de orbifolds comúnmente estudiada son los espacios proyectivos ponderados. y subespacios de ellos, como los orbifolds de Calabi-Yau .
Producto de fibra de groupoides
Dado un diagrama de groupoids con morfismos de groupoid
dónde y , podemos formar el grupoide cuyos objetos son triples , dónde , , y en . Los morfismos se pueden definir como un par de morfismos dónde y tal que por triples , hay un diagrama conmutativo en de , y el . [6]
Álgebra homológica
Un complejo de dos términos
de objetos en una categoría abeliana concreta se puede utilizar para formar un grupoide. Tiene como objetos el conjunto y como flechas el conjunto ; el morfismo de origen es solo la proyección sobre mientras que el morfismo objetivo es la adición de proyección sobre compuesto con y proyección sobre . Es decir, dado, tenemos
Por supuesto, si la categoría abeliana es la categoría de haces coherentes en un esquema, entonces esta construcción se puede utilizar para formar un prefabricado de grupoides.
Rompecabezas
Si bien los acertijos como el Cubo de Rubik se pueden modelar utilizando la teoría de grupos (ver el grupo Cubo de Rubik ), ciertos acertijos se modelan mejor como grupos. [7]
Las transformaciones del rompecabezas de los quince forman un grupoide (no un grupo, ya que no se pueden componer todos los movimientos). [8] [9] [10] Este grupoide actúa sobre las configuraciones.
Mathieu grupoide
El groupoid de Mathieu es un groupoid introducido por John Horton Conway que actúa sobre 13 puntos, de modo que los elementos que fijan un punto forman una copia del grupo M 12 de Mathieu .
Relación con los grupos
Estructuras de tipo grupal | |||||
---|---|---|---|---|---|
Totalidad α | Asociatividad | Identidad | Invertibilidad | Conmutatividad | |
Semigropoide | Innecesario | Requerido | Innecesario | Innecesario | Innecesario |
Categoría pequeña | Innecesario | Requerido | Requerido | Innecesario | Innecesario |
Groupoid | Innecesario | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario |
Magma | Requerido | Innecesario | Innecesario | Innecesario | Innecesario |
Cuasigrupo | Requerido | Innecesario | Innecesario | Requerido | Innecesario |
Magma unital | Requerido | Innecesario | Requerido | Innecesario | Innecesario |
Círculo | Requerido | Innecesario | Requerido | Requerido | Innecesario |
Semigroup | Requerido | Requerido | Innecesario | Innecesario | Innecesario |
Semigroup inverso | Requerido | Requerido | Innecesario | Requerido | Innecesario |
Monoide | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario | Innecesario |
Monoide conmutativo | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario | Requerido |
Grupo | Requerido | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario |
Grupo abeliano | Requerido | Requerido | Requerido | Requerido | Requerido |
^ α El cierre, que se utiliza en muchas fuentes, es un axioma equivalente a la totalidad, aunque se define de manera diferente. |
Si un grupoide tiene un solo objeto, entonces el conjunto de sus morfismos forma un grupo . Usando la definición algebraica, tal grupoide es literalmente solo un grupo. [11] Muchos conceptos de la teoría de grupos se generalizan a los grupoides, con la noción de functor reemplazando a la de homomorfismo de grupo .
Cada grupoide transitivo / conectado, es decir, como se explicó anteriormente, uno en el que dos objetos cualesquiera están conectados por al menos un morfismo, es isomorfo a un grupoide de acción (como se define anteriormente) . Por transitividad, solo habrá una órbita bajo la acción.
Tenga en cuenta que el isomorfismo que se acaba de mencionar no es único y no existe una opción natural . Elegir tal isomorfismo para un grupoide transitivo equivale esencialmente a elegir un objeto, un isomorfismo de grupo de a , y para cada otro que , un morfismo en de a .
Si un groupoide no es transitivo, entonces es isomorfo a una unión disjunta de groupoids del tipo anterior, también llamados sus componentes conectados (posiblemente con diferentes grupos y conjuntos para cada componente conectado).
En términos de teoría de categorías, cada componente conectado de un grupoide es equivalente (pero no isomórfico ) a un grupoide con un solo objeto, es decir, un solo grupo. Por tanto, cualquier grupoide equivale a un conjunto múltiple de grupos no relacionados. En otras palabras, para equivalencia en lugar de isomorfismo, no es necesario especificar los conjuntos, pero solo los grupos Por ejemplo,
- El grupoide fundamental de es equivalente a la colección de los grupos fundamentales de cada componente de ruta conectado, pero un isomorfismo requiere especificar el conjunto de puntos en cada componente;
- El conjunto con la relación de equivalencia es equivalente (como grupoide) a una copia del grupo trivial para cada clase de equivalencia , pero un isomorfismo requiere especificar qué es cada clase de equivalencia:
- El conjunto equipado con una acción del grupo es equivalente (como grupoide) a una copia de para cada órbita de la acción, pero un isomorfismo requiere especificar qué conjunto es cada órbita.
El colapso de un grupoide en una mera colección de grupos pierde algo de información, incluso desde un punto de vista teórico de categorías, porque no es natural . Por lo tanto, cuando los grupoides surgen en términos de otras estructuras, como en los ejemplos anteriores, puede ser útil mantener el grupoide completo. De lo contrario, uno debe elegir una forma de ver cadaen términos de un solo grupo, y esta elección puede ser arbitraria. En el ejemplo de la topología , se tendría que hacer una elección coherente de rutas (o clases de equivalencia de rutas) desde cada punto. a cada punto en el mismo componente conectado a la ruta.
Como ejemplo más esclarecedor, la clasificación de los grupoides con un endomorfismo no se reduce a consideraciones puramente teóricas de grupos. Esto es análogo al hecho de que la clasificación de espacios vectoriales con un endomorfismo no es trivial.
Los morfismos de los grupoides son de más clases que los de los grupos: tenemos, por ejemplo, fibraciones , morfismos de cobertura , morfismos universales y morfismos de cociente . Por lo tanto, un subgrupo de un grupo produce una acción de en el conjunto de clases laterales de en y por lo tanto un morfismo de cobertura de, digamos, a , dónde es un grupoide con grupos de vértices isomórficos a. De esta forma, presentaciones del grupo se puede "levantar" a presentaciones del grupoide , y esta es una forma útil de obtener información sobre presentaciones del subgrupo . Para obtener más información, consulte los libros de Higgins y Brown en las Referencias.
Categoría de grupoides
La categoría cuyos objetos son groupoides y cuyos morfismos son morfismos groupoides se denomina categoría groupoide , o categoría de groupoides , y se denota por Grpd .
La categoría Grpd es, como la categoría de categorías pequeñas, cartesiana cerrada : para cualquier grupoide podemos construir un grupoide cuyos objetos son los morfismos y cuyas flechas son las equivalencias naturales de los morfismos. Así que sison solo grupos, entonces tales flechas son conjugaciones de morfismos. El resultado principal es que para cualquier grupoide hay una biyección natural
Este resultado es de interés incluso si todos los grupoides son solo grupos.
Otra propiedad importante de Grpd es que es tanto completo como cocompleto .
Relación con el gato
La inclusión tiene un adjunto izquierdo y derecho :
Aquí, denota la localización de una categoría que invierte todo morfismo, y denota la subcategoría de todos los isomorfismos.
Relación con sSet
El functor nervioso incrusta Grpd como una subcategoría completa de la categoría de conjuntos simpliciales. El nervio de un grupoide es siempre un complejo de Kan .
El nervio tiene un adjunto izquierdo
Aquí, denota el grupoide fundamental del conjunto simplicial X.
Groupoids en Grpd
Existe una estructura adicional que puede derivarse de los grupoides internos a la categoría de los grupoides, los dobles grupoides . [12] [13] Debido a que Grpd es una categoría 2, estos objetos forman una categoría 2 en lugar de una categoría 1, ya que hay una estructura adicional. Básicamente, estos son grupoides con functors
y una incrustación dada por un funtor de identidad
Una forma de pensar en estos 2 grupos es que contienen objetos, morfismos y cuadrados que pueden componerse juntos vertical y horizontalmente. Por ejemplo, cuadrados dados
y
con el mismo morfismo, se pueden unir verticalmente dando un diagrama
que se puede convertir en otro cuadrado componiendo las flechas verticales. Existe una ley de composición similar para las uniones horizontales de cuadrados.
Groupoids con estructuras geométricas
Cuando se estudian objetos geométricos, los grupos que surgen a menudo llevan una topología , convirtiéndolos en grupos topológicos , o incluso en alguna estructura diferenciable , convirtiéndolos en grupos de Lie . Estos últimos objetos también pueden estudiarse en términos de sus álgebroides de Lie asociados , en analogía con la relación entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie .
Los grupos que surgen de la geometría a menudo poseen estructuras adicionales que interactúan con la multiplicación de los grupos. Por ejemplo, en la geometría de Poisson se tiene la noción de un groupoide simpléctico , que es un groupoide de Lie dotado de una forma simpléctica compatible . De manera similar, se pueden tener grupos con una métrica de Riemann compatible , una estructura compleja , etc.
Ver también
- ∞-grupoide
- 2 grupos
- Teoría del tipo de homotopía
- Categoría inversa
- Álgebra grupoide (no confundir con grupoide algebraica )
- R-algebroide
Notas
- ↑ a b Dicks y Ventura (1996). El grupo fijado por una familia de endomorfismos inyectivos de un grupo libre . pag. 6.
- ^ "Semi-grupo de Brandt" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994], ISBN 1-4020-0609-8
- ^ Prueba de la primera propiedad: de 2. y 3. obtenemos a −1 = a −1 * a * a −1 y ( a −1 ) −1 = ( a −1 ) −1 * a −1 * ( a −1 ) −1 . Sustituyendo el primero en el segundo y aplicando 3. dos veces más, se obtiene ( a −1 ) −1 = ( a −1 ) −1 * a −1 * a * a −1 * ( a −1 ) −1 = ( a −1 ) −1 * a −1 * a = a . ✓
Prueba de segunda propiedad: desde un * b se define, por lo que es ( un * b ) -1 * un * b . Por lo tanto ( a * b ) −1 * a * b * b −1 = ( a * b ) −1 * a también se define. Además, dado que a * b está definido, también lo es a * b * b −1 = a . Por lo tanto un * b * b -1 * un -1 también se define. De 3. obtenemos ( a * b ) −1 = ( a * b ) −1 * a * a −1 = ( a * b ) −1 * a * b * b −1 * a −1 = b −1 * a −1 . ✓ - ^ JP May, Un curso conciso en topología algebraica , 1999, The University of Chicago Press ISBN 0-226-51183-9 ( consulte el capítulo 2 )
- ^ "Groupoid fundamental en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 17 de septiembre de 2017 .
- ^ "Localización e invariantes de Gromov-Witten" (PDF) . pag. 9. Archivado (PDF) desde el original el 12 de febrero de 2020.
- ^ Una introducción a los grupos, los grupos y sus representaciones: una introducción ; Alberto Ibort, Miguel A. Rodríguez; Prensa CRC, 2019.
- ^ Jim Belk (2008) Rompecabezas, grupos y grupos , El seminario de todo
- ↑ The 15-puzzle groupoid (1) Archivado el 25 de diciembre de 2015 en Wayback Machine , Never Ending Books
- ↑ The 15-puzzle groupoid (2) Archivado el 25 de diciembre de 2015 en Wayback Machine , Never Ending Books
- ^ El mapeo de un grupo con el grupoide correspondiente con un objeto a veces se llama desloqueo, especialmente en el contexto de la teoría de la homotopía , ver "delooping in nLab" . ncatlab.org . Consultado el 31 de octubre de 2017 ..
- ^ Cegarra, Antonio M .; Heredia, Benjamín A .; Remedios, Josué (19 de marzo de 2010). "Grupóides dobles y 2 tipos de homotopía". arXiv : 1003.3820 [ matemáticas.AT ].
- ^ Ehresmann, Charles (1964). "Catégories et estructuras: extraits" . Séminaire Ehresmann. Topologie et géométrie différentielle . 6 : 1–31.
Referencias
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- -, 2006. Topología y agrupaciones. Booksurge. Edición revisada y ampliada de un libro publicado anteriormente en 1968 y 1988. Los grupoides se introducen en el contexto de su aplicación topológica.
- -, Teoría de grupos de dimensión superior Explica cómo el concepto de grupoide ha llevado a grupos de homotopía de dimensión superior, que tiene aplicaciones en la teoría de homotopía y en la cohomología de grupo . Numerosas referencias.
- Dicks, Warren; Ventura, Enric (1996), El grupo fijado por una familia de endomorfismos inyectivos de un grupo libre , Encuestas y monografías matemáticas, 195 , Librería AMS, ISBN 978-0-8218-0564-0
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- Higgins, PJ, 1971. Categorías y agrupaciones. Notas de Van Nostrand en matemáticas. Publicado nuevamente en Reimpresiones en Teoría y Aplicaciones de Categorías , No. 7 (2005) págs. 1-195; descargable gratuitamente . Introducción sustancial a la teoría de categorías con especial énfasis en los grupoides. Presenta aplicaciones de los grupoides en la teoría de grupos, por ejemplo, a una generalización del teorema de Grushko , y en topología, por ejemplo, los grupoides fundamentales .
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- RT Zivaljevic. "Groupoids en combinatoria: aplicaciones de una teoría de simetrías locales". En combinatoria algebraica y geométrica , volumen 423 de Contemp. Math ., 305–324. Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI (2006)
- groupoid fundamental en nLab
- núcleo en nLab