Fue el segundo hijo de Stephen Weston , obispo de Exeter . Nació en Eton en 1703 y se educó en Eton College y en King's College, Cambridge , donde fue admitido en 1719, graduándose de BA en 1723 y MA en 1727.
Horace Walpole afirma que fue en 1725 a Bexley en Kent con sus primos, "los cuatro hijos menores de Lord Townshend , y con un tutor, Edward Weston ... y permaneció allí algunos meses". (La primera fecha se considera un error de imprenta de 1723, ya que Walpole estaba a cargo de Weston en julio de 1724.
Weston fue secretario de Lord Townshend durante la residencia del rey en Hannover en 1729 y, al retirarse del cargo, perdió "un amigo y mecenas muy generoso". En mayo de 1730 ofreció sus servicios a Lord Harrington , y cuando ese par fue nombrado secretario de estado del departamento norte, Weston se convirtió en subsecretario, permaneciendo en el cargo hasta 1746. El 8 de septiembre de 1741 fue nombrado editor de la London Gazette , con un salario de 500 libras esterlinas al año, y ocupó ese cargo hasta su muerte. En noviembre de 1746, Harrington fue a Irlanda como Lord Teniente, y Weston lo acompañó como secretario en jefe, donde fue miembro del parlamento de Cavan Borough.de 1747 a 1760 y fue nombrado consejero privado de Irlanda. Permaneció allí hasta 1751, y luego, debido a problemas de salud, se retiró durante diez años.
Le había comprado a su pariente, el señor Rossiter, la parroquia de Somerby y la mayor parte de la siguiente parroquia de Searby , en Lincolnshire . Vivió en Somerby Hall , al igual que muchos de sus descendientes hasta la década de 1930. La casa fue demolida en 1964.
A petición de Lord Bute regresó en marzo de 1761 a su antiguo puesto en el departamento del norte. Era un secretario del sello y se le permitía desempeñar sus funciones por diputado. En agosto de 1762 recibió una beca por 31 años del cargo de alnager en Irlanda, y el próximo agosto renunció al recibir una pensión de 500 libras esterlinas anuales por el mismo período. El 1 de septiembre de ese año fue nombrado uno de los comisionados para ejecutar el cargo de sello privado. En julio de 1763 dirigió una carta a George Grenville sobre su mala salud y su única recompensa "de 275 libras esterlinas por año, con el honorable título de nomenclátor" en el departamento de secretaría.
Weston luego sirvió a las órdenes de Lord Halifax en el departamento del sur y recomendó la emisión de una orden general contra John Wilkes . El próximo mes de mayo su salud se deterioró y se retiró del cargo, concediéndole una pensión de 750 libras esterlinas anuales por sus servicios. Murió en Buxton , Derbyshire el 15 de julio de 1770 y fue enterrado en la iglesia de St Margarets, Somerby , Lincolnshire, donde un monumento registró su memoria.