La desigualdad de Eilenberg
La desigualdad de Eilenberg , también conocida como desigualdad coárea, es una desigualdad matemática para funciones continuas de Lipschitz entre espacios métricos. Informalmente, da un límite superior al tamaño promedio de las fibras de un mapa de Lipschitz en términos de la constante de Lipschitz de la función y la medida del dominio.
La desigualdad de Eilenberg tiene aplicaciones en la teoría de la medida geométrica y la teoría de las variedades. También es un ingrediente clave en la prueba de la fórmula coarea .
Sea ƒ : X → Y una función continua de Lipschitz entre espacios métricos cuya constante de Lipschitz se denota por Lip ƒ . Sean s y t números reales no negativos. Entonces, la desigualdad de Eilenberg establece que
El uso de la integral superior es necesario porque, en general, la función puede no ser H t medible.
La desigualdad fue probada por primera vez por Eilenberg en 1938 para el caso en que la función era la distancia a un punto fijo en el espacio métrico. Luego fue generalizado en 1943 por Eilenberg y Harold al caso de cualquier función de Lipschitz de valor real en un espacio métrico.
La desigualdad en la forma anterior fue probada por Federer en 1954, excepto que pudo probarla solo bajo supuestos adicionales que conjeturó que eran innecesarios. Años más tarde, Davies probó algunos resultados profundos sobre los contenidos de Hausdorff y esta conjetura quedó probada como consecuencia. Pero recientemente también se ha encontrado una nueva prueba, independiente del resultado de Davies. [1]