En el campo matemático de la teoría de medidas geométricas , la fórmula de coarea expresa la integral de una función sobre un conjunto abierto en el espacio euclidiano en términos de integrales sobre los conjuntos de niveles de otra función. Un caso especial es el teorema de Fubini , que dice bajo hipótesis adecuadas que la integral de una función sobre la región encerrada por una caja rectangular se puede escribir como la integral iterada sobre los conjuntos de niveles de las funciones de coordenadas. Otro caso especial es la integración en coordenadas esféricas , en el que la integral de una función en R nestá relacionado con la integral de la función sobre capas esféricas: conjuntos de niveles de la función radial. La fórmula juega un papel decisivo en el estudio moderno de problemas isoperimétricos .
Para funciones suaves, la fórmula es el resultado de un cálculo multivariado que se deriva de un cambio de variables . Formas más generales de la fórmula para las funciones de Lipschitz fueron establecidas por primera vez por Herbert Federer ( Federer 1959 ), y para las funciones BV por Fleming y Rishel (1960) .
Una declaración precisa de la fórmula es la siguiente. Suponga que Ω es un conjunto abierto eny U es un valioso tiempo real, la función de Lipschitz en Ω. Entonces, para una función L 1 g ,
donde H n −1 es la medida de Hausdorff ( n - 1) dimensional . En particular, al tomar g como uno, esto implica
ya la inversa, la última igualdad implica la primera mediante técnicas estándar en la integración de Lebesgue .
De manera más general, la fórmula de coarea se puede aplicar a las funciones de Lipschitz u definidas en tomando valores en donde k ≤ n . En este caso, se mantiene la siguiente identidad
donde J k u es el jacobiano k -dimensional de u cuyo determinante está dado por
Aplicaciones
- Tomando u ( x ) = | x - x 0 | da la fórmula para la integración en coordenadas esféricas de una función integrable f :
- La combinación de la fórmula de coarea con la desigualdad isoperimétrica da una prueba de la desigualdad de Sobolev para W 1,1 con la mejor constante:
- dónde es el volumen de la bola unitaria en
Ver también
Referencias
- Federer, Herbert (1969), Teoría de la medida geométrica , Die Grundlehren der mathischen Wissenschaften, Band 153, Nueva York: Springer-Verlag New York Inc., págs. Xiv + 676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325.
- Federer, Herbert (1959), "Medidas de curvatura", Transactions of the American Mathematical Society , Transactions of the American Mathematical Society, vol. 93, núm. 3, 93 (3): 418–491, doi : 10.2307 / 1993504 , JSTOR 1993504.
- Fleming, WH; Rishel, R (1960), "Una fórmula integral para la variación total del gradiente", Archiv der Mathematik , 11 (1): 218-222, doi : 10.1007 / BF01236935
- Maly, J; Swanson, D; Ziemer, W (2002), "The co-area formula for Sobolev mappings" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 355 (2): 477–492, doi : 10.1090 / S0002-9947-02-03091-X.