En matemáticas , la elasticidad o elasticidad puntual de una función diferenciable positiva f de una variable positiva (entrada positiva, salida positiva) [1] en el punto a se define como [2]
o equivalente
Por lo tanto, es la razón del cambio relativo (porcentaje) en la salida de la función. con respecto al cambio relativo en su entrada , para cambios infinitesimales desde un punto . De manera equivalente, es la razón del cambio infinitesimal del logaritmo de una función con respecto al cambio infinitesimal del logaritmo del argumento. También existen en la literatura generalizaciones a casos de múltiples entradas y múltiples salidas. [3] [4]
La elasticidad de una función es una constante si y solo si la función tiene la forma por una constante .
La elasticidad en un punto es el límite de la elasticidad del arco entre dos puntos cuando la separación entre esos dos puntos se acerca a cero.
El concepto de elasticidad se usa ampliamente en economía ; ver elasticidad (economía) para más detalles.
Reglas
Las reglas para encontrar la elasticidad de productos y cocientes son más simples que las de las derivadas. Sea f, g diferenciable. Entonces [2]
La derivada se puede expresar en términos de elasticidad como
Deje una y b sean constantes. Luego
- ,
- .
Estimación de elasticidades puntuales
En economía, la elasticidad precio de la demanda se refiere a la elasticidad de una función de demanda Q ( P ), y puede expresarse como (dQ / dP) / (Q (P) / P) o la razón del valor de la función marginal (dQ / dP) al valor de la función promedio (Q (P) / P). Esta relación proporciona una manera fácil de determinar si una curva de demanda es elástica o inelástica en un punto en particular. Primero, suponga que se sigue la convención habitual en matemáticas de graficar la variable independiente (P) horizontalmente y la variable dependiente (Q) verticalmente. Entonces, la pendiente de una línea tangente a la curva en ese punto es el valor de la función marginal en ese punto. La pendiente de un rayo dibujado desde el origen a través del punto es el valor de la función promedio. Si el valor absoluto de la pendiente de la tangente es mayor que la pendiente del rayo, entonces la función es elástica en el punto; si la pendiente de la secante es mayor que el valor absoluto de la pendiente de la tangente, entonces la curva es inelástica en el punto. [5] Si la línea tangente se extiende al eje horizontal, el problema es simplemente una cuestión de comparar los ángulos creados por las líneas y el eje horizontal. Si el ángulo marginal es mayor que el ángulo promedio, entonces la función es elástica en el punto; si el ángulo marginal es menor que el ángulo promedio, entonces la función es inelástica en ese punto. Sin embargo, si uno sigue la convención adoptada por los economistas y grafica la variable independiente P en el eje vertical y la variable dependiente Q en el eje horizontal, entonces se aplicarían las reglas opuestas.
El mismo procedimiento gráfico también se puede aplicar a una función de suministro u otras funciones.
Semielástica
Una semielástica (o semielástica) da el cambio porcentual en f (x) en términos de un cambio (no porcentual) en x . Algebraicamente, la semielástica S de una función f en el punto x es [6] [7]
La semielástica será constante para funciones exponenciales de la forma, desde,
Un ejemplo de semielástica es la duración modificada en la negociación de bonos.
El término "semi-elasticidad" también se usa a veces para el cambio si f (x) en términos de un cambio porcentual en x [8] que sería
Ver también
Referencias
- ^ La elasticidad también se puede definir si la entrada y / o la salida es consistentemente negativa, o simplemente se aleja de cualquier punto donde la entrada o la salida sea cero, pero en la práctica la elasticidad se usa para cantidades positivas.
- ^ a b Sydsaeter, Knut ; Hammond, Peter (1995). Matemáticas para el análisis económico . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall. págs. 173-175 . ISBN 013583600X.
- ^ Zelenyuk, V. (2013) "Una nota sobre equivalencias en la medición de rendimientos a escala", International Journal of Business and Economics 12: 1, págs. 85-89. y ver referencias en el mismo
- ^ Zelenyuk, V. (2013) "Una medida de elasticidad de escala para la función de distancia direccional y su dual: teoría y estimación DEA". European Journal of Operational Research 228: 3, págs. 592–600
- ^ Chiang; Wainwright (2005). Métodos fundamentales de economía matemática (4ª ed.). Boston: McGraw-Hill. págs. 192-193. ISBN 0070109109.
- ^ Wooldridge, Jeffrey (2003). Econometría introductoria: un enfoque moderno (2ª ed.). Del suroeste. pag. 656. ISBN 0-324-11364-1.
- ^ White, Lawrence Henry (1999). La teoría de las instituciones monetarias . Malden: Blackwell. pag. 148. ISBN 0-631-21214-0.
- ^ https://www.stata.com/help.cgi?margins
Otras lecturas
- Nievergelt, Yves (1983). "El concepto de elasticidad en economía". Revisión SIAM . 25 (2): 261–265. doi : 10.1137 / 1025049 .