En la teoría de modelos , una rama de la lógica matemática , dos estructuras M y N de la misma firma σ se denominan elementalmente equivalentes si satisfacen las mismas oraciones σ de primer orden .
Si N es una subestructura de M , a menudo se necesita una condición más fuerte. En este caso N se llama una subestructura elemental de M si cada fórmula σ de primer orden φ ( a 1 ,…, a n ) con parámetros a 1 ,…, a n de N es verdadera en N si y solo si es cierto en M . Si N es una subestructura elemental de M , entonces M se llama unextensión elemental de N . Una incrustación h : N → M se denomina incrustación elemental de N en M si h ( N ) es una subestructura elemental de M .
Una subestructura N de M es elemental si y solo si pasa la prueba de Tarski-Vaught : toda fórmula de primer orden φ ( x , b 1 ,…, b n ) con parámetros en N que tiene una solución en M también tiene una solución en N cuando se evaluó en M . Se puede demostrar que dos estructuras son elementalmente equivalentes a los juegos Ehrenfeucht-Fraïssé .
Dos estructuras M y N de la misma firma σ son elementalmente equivalente si cada frase de primer orden (fórmula sin variables libres) sobre σ es cierto en M si y sólo si es verdad en N , es decir, si M y N tienen el mismo completa teoría de primer orden. Si M y N son elementalmente equivalente, se escribe M ≡ N .
De manera más general, cualquier teoría de primer orden con un modelo infinito tiene modelos no isomórficos, elementalmente equivalentes, que pueden obtenerse mediante el teorema de Löwenheim-Skolem . Así, por ejemplo, existen modelos no estándar de aritmética de Peano , que contienen otros objetos además de los números 0, 1, 2, etc., y sin embargo son elementalmente equivalentes al modelo estándar.
N es una subestructura elemental de M si N y M son estructuras de la misma firma σ tal que para todas las fórmulas σ de primer orden φ ( x 1 ,…, x n ) con variables libres x 1 ,…, x n , y todos los elementos a 1 ,…, a n de N , φ ( a 1 ,…, a n ) se cumplen en Nsi y solo si se mantiene en M :