conjetura de lehmer

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La conjetura de Lehmer , también conocida como el problema de la medida de Mahler de Lehmer, es un problema de teoría de números planteado por Derrick Henry Lehmer . ^[1] La conjetura afirma que existe una constante absoluta tal que todo polinomio con coeficientes enteros satisface una de las siguientes propiedades:${\ estilo de visualización \ mu> 1}$${\displaystyle P(x)\in \mathbb {Z} [x]}$

Hay varias definiciones de la medida de Mahler, una de las cuales es factorizar como${\ estilo de visualización P (x)}$${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$

Se cree ampliamente que este ejemplo representa el verdadero valor mínimo: es decir, en la conjetura de Lehmer. ^{[4] [5]}${\ estilo de visualización \ mu = 1.176280818 \ puntos}$

Considere la medida de Mahler para una variable y la fórmula de Jensen muestra que si entonces ${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D})}$

En este párrafo se denota　, que también se llama medida de Mahler .${\displaystyle m(P)=\log({\mathcal {M}}(P(x))}$

Si tiene coeficientes enteros, esto muestra que es un número algebraico y también lo es el logaritmo de un entero algebraico. También muestra que y que si entonces es un producto de polinomios ciclotómicos, es decir, polinomios mónicos cuyas raíces son todas raíces de la unidad, o un polinomio monomio de, es decir, una potencia para algunos .${\ estilo de visualización P}$${\displaystyle {\mathcal {M}}(P)}$${\ estilo de visualización m (P)}$${\ estilo de visualización m (P) \ geq 0}$${\ estilo de visualización m (P) = 0}$${\ estilo de visualización P}$${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización x^{n}}$${\ estilo de visualización n}$

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