Medida de Mahler

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En matemáticas , la medida de Mahler de un polinomio con coeficientes complejos se define como${\ Displaystyle M (p)}$ ${\ Displaystyle p (z)}$

donde factoriza los números complejos como${\ Displaystyle p (z)}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

La medida de Mahler puede verse como una especie de función de altura . Usando la fórmula de Jensen , se puede probar que esta medida también es igual a la media geométrica de para en el círculo unitario (es decir, ):${\ Displaystyle | p (z) |}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle | z | = 1}$

Por extensión, la medida de Mahler de un número algebraico se define como la medida de Mahler del polinomio mínimo de más . En particular, si es un número de Pisot o un número de Salem , entonces su medida de Mahler es simplemente .${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ alpha}$

La medida de Mahler de un polinomio multivariable se define de manera similar mediante la fórmula ^[2]${\ Displaystyle M (p)}$${\ Displaystyle p (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$

Se ha demostrado que la medida de Mahler multivariable , en algunos casos, está relacionada con valores especiales de funciones y funciones zeta . Por ejemplo, en 1981, Smyth ^[3] probó las fórmulas${\ Displaystyle L}$

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