Proceso empírico

En la teoría de la probabilidad , un proceso empírico es un proceso estocástico que describe la proporción de objetos en un sistema en un estado dado. Para un proceso en un espacio de estado discreto, una cadena de Markov de tiempo continuo de población [1] [2] o modelo de población de Markov [3] es un proceso que cuenta el número de objetos en un estado dado (sin reescalar). En la teoría del campo medio , se consideran los teoremas del límite (a medida que aumenta el número de objetos) y se generaliza el teorema del límite central para las medidas empíricas . Surgen aplicaciones de la teoría de procesos empíricos en estadística no paramétrica. [4]

Para X 1 , X 2 , ... X n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas en R con función de distribución acumulativa común F ( x ), la función de distribución empírica está definida por

Para todo x (fijo) , F n ( x ) es una secuencia de variables aleatorias que convergen a F ( x ) casi con certeza por la ley fuerte de los grandes números . Es decir , Fn converge a F puntualmente . Glivenko y Cantelli reforzaron este resultado demostrando la convergencia uniforme de Fn a F mediante el teorema de Glivenko-Cantelli . [5]

Por el teorema del límite central , converge en distribución a una variable aleatoria normal N (0,  P ( A ) (1 −  P ( A ))) para el conjunto medible fijo A . De manera similar, para una función fija f , converge en distribución a una variable aleatoria normal , siempre que y exista.

Un resultado significativo en el área de los procesos empíricos es el teorema de Donsker . Ha conducido a un estudio de las clases de Donsker : conjuntos de funciones con la útil propiedad de que los procesos empíricos indexados por estas clases convergen débilmente a un determinado proceso gaussiano . Si bien se puede demostrar que las clases de Donsker son clases de Glivenko-Cantelli , lo contrario no es cierto en general.

Como ejemplo, considere las funciones de distribución empíricas . Para variables aleatorias iid de valor real X 1 , X 2 , ..., X n están dadas por