En la teoría de las colas , la fórmula de Engset se utiliza para determinar la probabilidad de bloqueo de una cola M / M / c / c / N (en la notación de Kendall ).
La fórmula lleva el nombre de su desarrollador, TO Engset .
Aplicación de ejemplo
Considere una flota de vehículos y operadores. Los operadores ingresan al sistema de manera aleatoria para solicitar el uso de un vehículo. Si no hay vehículos disponibles, un operador solicitante está "bloqueado" (es decir, el operador se va sin un vehículo). El propietario de la flota quisiera elegir pequeño para minimizar los costos, pero lo suficientemente grande para garantizar que la probabilidad de bloqueo sea tolerable.
Fórmula
Dejar
- sea el número (entero) de servidores.
- sea el número (entero) de fuentes de tráfico;
- ser la tasa de llegada de la fuente inactiva (es decir, la tasa a la que una fuente libre inicia solicitudes);
- sea el tiempo medio de espera (es decir, el tiempo medio que tarda un servidor en gestionar una solicitud);
Entonces, la probabilidad de bloqueo viene dada por [1]
Al reorganizar los términos, se puede reescribir la fórmula anterior como [2]
dónde es la función hipergeométrica gaussiana .
Cálculo
Hay varias recursiones [3] que se pueden utilizar para calcular de una manera numéricamente estable.
Alternativamente, se puede utilizar cualquier paquete numérico que admita la función hipergeométrica . A continuación se dan algunos ejemplos.
de scipy.special import hyp2f1 P = 1.0 / hyp2f1 ( 1 , - c , N - c , - 1.0 / ( Lambda * h ))
MATLAB con la caja de herramientas de matemáticas simbólicas
P = 1 / hipergeoma ([ 1 , - c ], N - c , - 1 / ( Lambda * h ))
Tasa de llegada de fuente desconocida
En la práctica, a menudo ocurre que la tasa de llegada de la fuente es desconocido (o difícil de estimar) mientras , se conoce el tráfico ofrecido por fuente. En este caso, se puede sustituir la relación
entre la tasa de llegada de la fuente y la probabilidad de bloqueo en la fórmula de Engset para llegar a la ecuación de punto fijo
dónde
Cálculo
Mientras que lo anterior quita lo desconocido a partir de la fórmula, introduce un punto adicional de complejidad: ya no podemos calcular la probabilidad de bloqueo directamente y debemos utilizar un método iterativo en su lugar. Si bien una iteración de punto fijo es tentadora, se ha demostrado que tal iteración a veces es divergente cuando se aplica a. [2] Alternativamente, es posible usar uno de bisección o el método de Newton , para lo cual está disponible una implementación de código abierto .
Referencias
- ^ Tijms, Henk C. (2003). Un primer curso en modelos estocásticos . John Wiley e hijos. doi : 10.1002 / 047001363X .
- ^ a b Azimzadeh, Parsiad; Carpintero, Tommy (2016). "Cálculo rápido de Engset". Cartas de investigación operativa . 44 (3): 313–318. arXiv : 1511.00291 . doi : 10.1016 / j.orl.2016.02.011 . ISSN 0167-6377 .
- ^ Zukerman, Moshe (2000). "Introducción a la teoría de las colas y los modelos estocásticos de teletrafico" (pdf) . Consultado el 27 de noviembre de 2012 .