En física e ingeniería , la envolvente de una señal oscilante es una curva suave que describe sus extremos. [1] La envolvente generaliza así el concepto de amplitud constante en amplitud instantánea . La figura ilustra una onda sinusoidal modulada que varía entre una envolvente superior y una envolvente inferior . La función de la envolvente puede ser una función del tiempo, espacio, ángulo o incluso de cualquier variable.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/3/31/Signal_envelopes.png/220px-Signal_envelopes.png)
Ejemplo: batir olas
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/8/89/Modulated_wave.png/220px-Modulated_wave.png)
Una situación común que da como resultado una función envolvente tanto en el espacio x como en el tiempo t es la superposición de dos ondas de casi la misma longitud de onda y frecuencia: [2]
que usa la fórmula trigonométrica para la suma de dos ondas sinusoidales , y la aproximación Δ λ ≪ λ :
Aquí la longitud de onda de modulación λ mod viene dada por: [2] [3]
La longitud de onda de modulación es el doble que la de la propia envolvente porque cada media longitud de onda de la onda cosenoidal moduladora gobierna los valores positivos y negativos de la onda sinusoidal modulada. Asimismo, la frecuencia de batido es la de la envolvente, el doble que la de la onda moduladora, o 2Δ f . [4]
Si esta onda es una onda de sonido, el oído escucha la frecuencia asociada con f y la amplitud de este sonido varía con la frecuencia del latido. [4]
Velocidad de fase y grupo
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El argumento de las sinusoides anteriores además de un factor 2 π son:
con los subíndices C y E que se refieren al transportista y al sobre . La misma amplitud F de los resultados de onda de los mismos valores de ξ C y xi E , cada uno de los cuales puede a su vez volver al mismo valor durante diferentes pero relacionados correctamente opciones de x y t . Esta invariancia significa que uno puede rastrear estas formas de onda en el espacio para encontrar la velocidad de una posición de amplitud fija a medida que se propaga en el tiempo; para que el argumento de la onda portadora permanezca igual, la condición es:
que muestra que para mantener una amplitud constante la distancia Δ x está relacionada con el intervalo de tiempo Δ t por la llamada velocidad de fase v p
Por otro lado, las mismas consideraciones muestran que la envolvente se propaga a la llamada velocidad de grupo v g : [5]
Una expresión más común para la velocidad del grupo se obtiene introduciendo el vector de onda k :
Observamos que para pequeños cambios Δ λ , la magnitud del pequeño cambio correspondiente en el vector de onda, digamos Δ k , es:
por lo que la velocidad del grupo se puede reescribir como:
donde ω es la frecuencia en radianes / s: ω = 2 π f . En todos los medios, la frecuencia y el vector de onda están relacionados por una relación de dispersión , ω = ω ( k ), y la velocidad del grupo se puede escribir:
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/4/45/Phonon_dispersion_relations_in_GaAs.png/200px-Phonon_dispersion_relations_in_GaAs.png)
En un medio como el vacío clásico, la relación de dispersión de las ondas electromagnéticas es:
donde c 0 es la velocidad de la luz en el vacío clásico. Para este caso, las velocidades de fase y de grupo son c 0 .
En los llamados medios dispersivos la relación de dispersión puede ser una función complicada de vector de onda, y las velocidades de fase y de grupo no son lo mismo. Por ejemplo, para varios tipos de ondas exhibidas por vibraciones atómicas ( fonones ) en GaAs, las relaciones de dispersión se muestran en la figura para varias direcciones del vector de onda k . En el caso general, las velocidades de fase y de grupo pueden tener diferentes direcciones. [7]
Ejemplo: aproximación de la función de envolvente
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En la física de la materia condensada, una función propia de energía para un portador de carga móvil en un cristal se puede expresar como una onda de Bloch :
donde n es el índice de la banda (por ejemplo, banda de conducción o de valencia) r es una ubicación espacial y k es un vector de onda . La exponencial es una función que varía sinusoidalmente correspondiente a una envolvente que varía lentamente que modula la parte que varía rápidamente de la función de onda u n , k que describe el comportamiento de la función de onda cerca de los núcleos de los átomos de la red. La envolvente está restringida a valores k dentro de un rango limitado por la zona de Brillouin del cristal, y eso limita la rapidez con la que puede variar con la ubicación r .
Para determinar el comportamiento de los portadores mediante la mecánica cuántica , se suele utilizar la aproximación de envolvente en la que la ecuación de Schrödinger se simplifica para referirse únicamente al comportamiento de la envolvente, y las condiciones de contorno se aplican a la función envolvente directamente, en lugar de a la función de onda. [9] Por ejemplo, la función de onda de un portador atrapado cerca de una impureza se rige por una función de envolvente F que gobierna una superposición de funciones de Bloch:
donde los componentes de Fourier de la envolvente F ( k ) se encuentran a partir de la ecuación de Schrödinger aproximada. [10] En algunas aplicaciones, la parte periódica u k se reemplaza por su valor cerca del borde de la banda, digamos k = k 0 , y luego: [9]
Ejemplo: patrones de difracción
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Los patrones de difracción de múltiples rendijas tienen envolventes determinadas por el patrón de difracción de una sola rendija. Para una sola hendidura, el patrón viene dado por: [11]
donde α es el ángulo de difracción, d es el ancho de la rendija y λ es la longitud de onda. Para múltiples rendijas, el patrón es [11]
donde q es el número de rendijas yg es la constante de rejilla. El primer factor, el resultado de una sola rendija I 1 , modula el segundo factor de variación más rápida que depende del número de rendijas y su espaciamiento.
Ver también
- Envolvente compleja
- Descomposición en modo empírico
- Sobre (matemáticas)
- Detector de sobres
- Seguimiento de sobres
- Fase instantánea
- Modulación
- Matemáticas de oscilación
- Potencia máxima de envolvente
- Envolvente espectral
Referencias
- ^ C. Richard Johnson, Jr; William A. Sethares; Andrew G. Klein (2011). "Figura C.1: La envolvente de una función describe sus extremos de manera suave". Diseño de receptor de software: cree su propio sistema de comunicación digital en cinco sencillos pasos . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 417. ISBN 0521189446.
- ^ a b Blair Kinsman (2002). Ondas de viento: su generación y propagación en la superficie del océano (Reimpresión de Prentice-Hall 1965 ed.). Publicaciones de Courier Dover . pag. 186. ISBN 0486495116.
- ^ Mark W. Denny (1993). Aire y agua: la biología y la física de los medios de vida . Prensa de la Universidad de Princeton . págs. 289 . ISBN 0691025185.
- ^ a b Paul Allen Tipler; Gene Mosca (2008). Física para científicos e ingenieros, Volumen 1 (6ª ed.). Macmillan. pag. 538. ISBN 142920124X.
- ^ Peter W. Milonni ; Joseph H. Eberly (2010). "§8.3 Velocidad de grupo". Física láser (2ª ed.). John Wiley e hijos . pag. 336. ISBN 0470387718.
- ^ Peter Y. Yu; Manuel Cardona (2010). "Fig. 3.2: Curvas de dispersión de fonones en GaAs a lo largo de ejes de alta simetría". Fundamentos de los semiconductores: física y propiedades de los materiales (4ª ed.). Saltador. pag. 111. ISBN 3642007090.
- ^ V. Cerveny; Vlastislav Červený (2005). "§2.2.9 Relación entre los vectores de velocidad de fase y de grupo". Teoría de los rayos sísmicos . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 35. ISBN 0521018226.
- ^ G Bastard; JA Brum; R. Ferreira (1991). " Figura 10 en Estados electrónicos en heteroestructuras de semiconductores". En Henry Ehrenreich; David Turnbull (eds.). Física del estado sólido: Heteroestructuras y nanoestructuras de semiconductores . pag. 259. ISBN 0126077444.
- ^ a b Christian Schüller (2006). "§2.4.1 Aproximación de la función envolvente (EFA)". Dispersión de luz inelástica de nanoestructuras semiconductoras: fundamentos y avances recientes . Saltador. pag. 22. ISBN 3540365257.
- ^ Por ejemplo, consulte Marco Fanciulli (2009). "§1.1 Aproximación de la función de envolvente". Resonancia de espín de electrones y fenómenos relacionados en estructuras de baja dimensión . Saltador. págs. 224 y sigs . ISBN 354079364X.
- ^ a b Kordt Griepenkerl (2002). "Distribución de intensidad para difracción por rendija y patrón de intensidad para difracción por rejilla". En John W Harris; Walter Benenson; Horst Stöcker; Holger Lutz (eds.). Manual de física . Saltador. págs. 306 y sigs . ISBN 0387952691.
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