Los procesos de difracción que afectan a las ondas son susceptibles de descripción y análisis cuantitativos . Dichos tratamientos se aplican a una onda que pasa a través de una o más rendijas cuyo ancho se especifica como una proporción de la longitud de onda . Se pueden utilizar aproximaciones numéricas , incluidas las aproximaciones de Fresnel y Fraunhofer .
Difracción de una onda escalar que pasa a través de una rendija de 1 longitud de onda de ancho
Difracción de una onda escalar que pasa a través de una rendija de 4 longitudes de onda de ancho
Difracción generalDebido a que la difracción es el resultado de la suma de todas las ondas (de longitud de onda dada) a lo largo de todos los caminos sin obstrucciones, el procedimiento habitual es considerar la contribución de un vecindario infinitesimalmente pequeño alrededor de un cierto camino (esta contribución generalmente se llama ondícula ) y luego integrar sobre todos los caminos (= agregar todas las ondículas) desde la fuente al detector (o un punto dado en una pantalla).
Así, para determinar el patrón producido por difracción, se calcula la fase y la amplitud de cada una de las ondículas. Es decir, en cada punto del espacio debemos determinar la distancia a cada una de las fuentes simples en el frente de onda entrante. Si la distancia a cada una de las fuentes simples difiere en un número entero de longitudes de onda, todas las ondas estarán en fase, lo que resultará en una interferencia constructiva. Si la distancia a cada fuente es un número entero más la mitad de una longitud de onda, habrá una interferencia destructiva completa. Por lo general, es suficiente determinar estos mínimos y máximos para explicar los efectos de difracción observados.
Las descripciones más simples de difracción son aquellas en las que la situación se puede reducir a un problema bidimensional. Para las ondas de agua, este ya es el caso, ya que las ondas de agua se propagan solo en la superficie del agua. Para la luz, a menudo podemos descuidar una dimensión si el objeto difractante se extiende en esa dirección a una distancia mucho mayor que la longitud de onda. En el caso de que la luz brille a través de pequeños orificios circulares, tendremos que tener en cuenta la naturaleza tridimensional completa del problema.
Se pueden hacer varias observaciones cualitativas de la difracción en general:
- El espaciado angular de las características en el patrón de difracción es inversamente proporcional a las dimensiones del objeto que causa la difracción. En otras palabras: cuanto más pequeño es el objeto difractante, más ancho es el patrón de difracción resultante, y viceversa. (Más precisamente, esto es cierto para los senos de los ángulos).
- Los ángulos de difracción son invariantes bajo escala; es decir, dependen únicamente de la relación entre la longitud de onda y el tamaño del objeto difractante.
- Cuando el objeto difractante tiene una estructura periódica, por ejemplo en una rejilla de difracción, las características generalmente se vuelven más nítidas. La cuarta figura, por ejemplo, muestra una comparación de un patrón de doble hendidura con un patrón formado por cinco hendiduras, teniendo ambos conjuntos de hendiduras el mismo espaciado entre el centro de una hendidura y la siguiente.
AproximacionesEl problema de calcular el aspecto de una onda difractada es el problema de determinar la fase de cada una de las fuentes simples en el frente de onda entrante. Es matemáticamente más fácil considerar el caso de difracción de campo lejano o de Fraunhofer , donde el punto de observación está lejos del de la obstrucción difractante y, como resultado, involucra matemáticas menos complejas que el caso más general de campo cercano o Fresnel. difracción . Para hacer esta afirmación más cuantitativa, considere un objeto difractante en el origen que tiene un tamaño. Para ser precisos, digamos que estamos difractando la luz y estamos interesados en cómo se ve la intensidad en una pantalla a distancia.lejos del objeto. En algún punto de la pantalla, la longitud del camino a un lado del objeto viene dada por el teorema de Pitágoras
- [ se necesita más explicación ]
Si consideramos ahora la situación en la que , la longitud del camino se convierte en
Esta es la aproximación de Fresnel. Para simplificar aún más las cosas: si el objeto difractante es mucho más pequeño que la distancia, el último término contribuirá mucho menos que una longitud de onda a la longitud del camino, y entonces no cambiará la fase de manera apreciable. Es decir. El resultado es la aproximación de Fraunhofer, que solo es válida muy lejos del objeto
Dependiendo del tamaño del objeto de difracción, la distancia al objeto y la longitud de onda de la onda, la aproximación de Fresnel, la aproximación de Fraunhofer o ninguna aproximación pueden ser válidas. A medida que aumenta la distancia entre el punto de difracción medido y el punto de obstrucción, los patrones de difracción o los resultados predichos convergen hacia los de la difracción de Fraunhofer, que se observa con más frecuencia en la naturaleza debido a la longitud de onda extremadamente pequeña de la luz visible.
Múltiples ranuras estrechasUna descripción cuantitativa simple
Diagrama de un problema de difracción de dos rendijas, que muestra el ángulo hasta el primer mínimo, donde una diferencia de longitud de trayectoria de media longitud de onda provoca una interferencia destructiva.
Las disposiciones de múltiples rendijas se pueden considerar matemáticamente como múltiples fuentes de ondas simples, si las rendijas son lo suficientemente estrechas. Para la luz, una rendija es una abertura que se extiende infinitamente en una dimensión, y esto tiene el efecto de reducir un problema de ondas en el espacio 3D a un problema más simple en el espacio 2D. El caso más simple es el de dos rendijas estrechas, espaciadas una distanciaaparte. Para determinar los máximos y mínimos en la amplitud debemos determinar la diferencia de camino a la primera rendija y a la segunda. En la aproximación de Fraunhofer, con el observador lejos de las rendijas, la diferencia en la longitud de la trayectoria a las dos rendijas se puede ver en la imagen como
Los máximos en la intensidad ocurren si esta diferencia de longitud de camino es un número entero de longitudes de onda.
| | - dónde
- es un número entero que etiqueta el orden de cada máximo,
- es la longitud de onda,
- es la distancia entre las ranuras
- y es el ángulo en el que se produce la interferencia constructiva.
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Los mínimos correspondientes están en las diferencias de trayectoria de un número entero más la mitad de la longitud de onda:
- .
Para una serie de ranuras, las posiciones de los mínimos y máximos no se cambian, las franjas visibles en una pantalla, sin embargo, se vuelven más nítidas, como se puede ver en la imagen.
Difracción de luz láser roja de 2 y 5 rendijas
Descripción matemática
Para calcular este patrón de intensidad, es necesario introducir algunos métodos más sofisticados. La representación matemática de una onda radial está dada por
dónde , es la longitud de onda, es la frecuencia de la onda y es la fase de la onda en las rendijas en el tiempo t = 0. La onda en una pantalla a cierta distancia del plano de las rendijas viene dada por la suma de las ondas que emanan de cada una de las rendijas. Para facilitar un poco este problema, presentamos la onda compleja, cuya parte real es igual a
El valor absoluto de esta función da la amplitud de la onda y la fase compleja de la función corresponde a la fase de la onda. se conoce como amplitud compleja. Con rendijas, la onda total en el punto en la pantalla es
- .
Dado que por el momento solo estamos interesados en la amplitud y la fase relativa, podemos ignorar cualquier factor de fase general que no dependa de o . Nos aproximamos. En el límite de Fraunhofer podemos ignorar los términos del orden: en el exponencial, y cualquier término que involucre o en el denominador. La suma se convierte
La suma tiene la forma de una suma geométrica y se puede evaluar para dar
La intensidad viene dada por el valor absoluto de la amplitud compleja al cuadrado
dónde denota el complejo conjugado de.
Hendidura únicaAproximación numérica del patrón de difracción de una rendija de ancho igual a la longitud de onda de una onda plana incidente en visualización azul 3D
Aproximación numérica del patrón de difracción de una rendija de cuatro longitudes de onda de ancho con una onda plana incidente. El haz central principal, los nulos y las inversiones de fase son evidentes.
Gráfico e imagen de difracción de una sola rendija
Como ejemplo, ahora se puede derivar una ecuación exacta para la intensidad del patrón de difracción en función del ángulo en el caso de la difracción de una sola rendija.
Se puede utilizar una representación matemática del principio de Huygens para iniciar una ecuación.
Considere una onda plana compleja monocromática de longitud de onda λ incidente en una rendija de ancho a .
Si la rendija se encuentra en el plano x′-y ′, con su centro en el origen, entonces se puede suponer que la difracción genera una onda compleja ψ, viajando radialmente en la dirección r alejándose de la rendija, y esto viene dado por:
Sea (x ′, y ′, 0) un punto dentro de la rendija sobre la que se integra. Si (x, 0, z) es la ubicación en la que se calcula la intensidad del patrón de difracción, la rendija se extiende desde a , y de a .
La distancia r desde la ranura es:
Suponiendo que la difracción de Fraunhofer resultará en la conclusión. En otras palabras, la distancia al objetivo es mucho mayor que el ancho de difracción en el objetivo. Por la regla de expansión binomial , ignorando los términos cuadráticos y superiores, se puede estimar que la cantidad de la derecha es:
Se puede ver que 1 / r delante de la ecuación no es oscilatorio, es decir, su contribución a la magnitud de la intensidad es pequeña en comparación con nuestros factores exponenciales. Por lo tanto, perderemos poca precisión al aproximarlo a 1 / z .
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Para hacer las cosas más limpias, se usa un marcador de posición 'C' para denotar constantes en la ecuación. Es importante tener en cuenta que C puede contener números imaginarios, por lo que la función de onda será compleja. Sin embargo, al final, ψ estará entre corchetes, lo que eliminará cualquier componente imaginario.
Ahora, en difracción de Fraunhofer, es pequeño, entonces (tenga en cuenta que participa de este exponencial y se está integrando).
En contraste, el término se puede eliminar de la ecuación, ya que cuando se pone entre corchetes da 1.
(Por la misma razón también hemos eliminado el término )
Tomando resulta en:
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Se puede observar a través de la fórmula de Euler y sus derivados que y .
donde la función sinc (no normalizada) está definida por.
Ahora, sustituyendo en , la intensidad (amplitud al cuadrado) de las ondas difractadas en un ángulo θ viene dado por:
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Múltiples rendijas Difracción de doble rendija de luz láser roja
Difracción de 2 y 5 rendijas
Comencemos de nuevo con la representación matemática del principio de Huygens .
Considerar hendiduras en el plano principal de igual tamaño y espaciado extendido a lo largo del eje. Como arriba, la distancia de la ranura 1 es:
Para generalizar esto a rendijas, hacemos la observación de que mientras y permanecer constante, cambia por
Por lo tanto
y la suma de todos contribuciones a la función de onda es:
Otra vez notando que es pequeño, entonces , tenemos:
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Ahora, podemos usar la siguiente identidad
Sustituyendo en nuestra ecuación, encontramos:
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Ahora hacemos nuestro sustitución como antes y representan todas las constantes no oscilantes por el variable como en la difracción de 1 rendija y entre paréntesis el resultado. Recuérdalo
Esto nos permite descartar el exponente de cola y tenemos nuestra respuesta:
Caso general para campo lejanoEn el campo lejano, donde r es esencialmente constante, entonces la ecuación:
equivale a hacer una transformada de Fourier en los huecos de la barrera. [1]
Ver tambiénReferencias