Epsilon-inducción

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En matemáticas , la inducción ( épsilon-induction o set-induction ) es una variante de la inducción transfinita .${\ estilo de visualización \ en}$

Puede usarse en la teoría de conjuntos para probar que todos los conjuntos satisfacen una propiedad dada. Este es un caso especial de inducción bien fundada .

Establece, para cualquier propiedad dada , que si para todo conjunto , la verdad de se sigue de la verdad de para todos los elementos de , entonces esta propiedad se cumple para todos los conjuntos. En símbolos:${\ estilo de visualización \ Phi}$${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización \ Phi (x)}$${\ estilo de visualización \ Phi}$ ${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización \ Phi}$

Tenga en cuenta que para el "caso inferior" donde denota el conjunto vacío , la subexpresión es vacuamente verdadera para todas las proposiciones.${\ estilo de visualización x}$${\displaystyle \forall y\in x.\Phi (y)}$

Lo anterior se puede comparar con la inducción sobre los números naturales para las propiedades de los números . Esto puede expresarse como${\ estilo de visualización \ omega}$ ${\displaystyle n\in \{0,1,2,\dots \}}$${\displaystyle \phi }$

o, usando el símbolo para la afirmación tautológicamente verdadera, ,${\displaystyle \top }$

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