Punto de equilibrio

En matemáticas , específicamente en ecuaciones diferenciales , un punto de equilibrio es una solución constante a una ecuación diferencial.

El punto es un punto de equilibrio para la ecuación diferencial.${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\en \mathbb {R} ^{n}}$

si por todo .${\displaystyle \mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=\mathbf {0} }$${\ estilo de visualización t}$

De manera similar, el punto es un punto de equilibrio (o punto fijo ) para la ecuación en diferencias${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\en \mathbb {R} ^{n}}$

si por .${\displaystyle \mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={\tilde {\mathbf {x} }}}$${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$

Los equilibrios se pueden clasificar observando los signos de los valores propios de la linealización de las ecuaciones sobre los equilibrios. Es decir, evaluando la matriz jacobiana en cada uno de los puntos de equilibrio del sistema y luego encontrando los valores propios resultantes, se pueden categorizar los equilibrios. Luego, el comportamiento del sistema en la vecindad de cada punto de equilibrio se puede determinar cualitativamente (o incluso cuantitativamente, en algunos casos), encontrando los vectores propios asociados con cada valor propio.

Diagrama de estabilidad que clasifica los mapas de Poincaré de un sistema lineal autónomo en estable o inestable según sus características. La estabilidad generalmente aumenta a la izquierda del diagrama. ^[1] Algunos sumideros, fuentes o nodos son puntos de equilibrio.${\displaystyle x'=Ax,}$