En matemáticas , particularmente en sistemas dinámicos , un primer mapa de recurrencia o mapa de Poincaré , llamado así por Henri Poincaré , es la intersección de una órbita periódica en el espacio de estados de un sistema dinámico continuo con un cierto subespacio de menor dimensión, llamado sección de Poincaré , transversal al flujo del sistema. Más precisamente, se considera una órbita periódica con condiciones iniciales dentro de una sección del espacio, que luego abandona esa sección, y se observa el punto en el que esta órbita regresa por primera vez a la sección. Entonces uno crea unmap para enviar el primer punto al segundo, de ahí el nombre primer mapa de recurrencia . La transversalidad del tramo de Poincaré significa que las órbitas periódicas que parten del subespacio fluyen a través de él y no paralelas a él. [ cita requerida ]
Un mapa de Poincaré se puede interpretar como un sistema dinámico discreto con un espacio de estados que es una dimensión más pequeño que el sistema dinámico continuo original. Debido a que conserva muchas propiedades de las órbitas periódicas y cuasiperiódicas del sistema original y tiene un espacio de estados de menor dimensión, a menudo se usa para analizar el sistema original de una manera más simple. [ cita requerida ] En la práctica, esto no siempre es posible ya que no existe un método general para construir un mapa de Poincaré.
Un mapa de Poincaré se diferencia de una gráfica de recurrencia en que el espacio, no el tiempo, determina cuándo trazar un punto. Por ejemplo, el lugar de la Luna cuando la Tierra está en el perihelio es una gráfica de recurrencia; el lugar de la Luna cuando pasa por el plano perpendicular a la órbita de la Tierra y pasa por el Sol y la Tierra en el perihelio es un mapa de Poincaré. [ cita requerida ] Fue utilizado por Michel Hénon para estudiar el movimiento de las estrellas en una galaxia , porque la trayectoria de una estrella proyectada sobre un plano parece un lío enredado, mientras que el mapa de Poincaré muestra la estructura con mayor claridad.
Definición
Sea ( R , M , φ ) un sistema dinámico global , con R los números reales , M el espacio de fase y φ la función de evolución . Sea γ una órbita periódica a través de un punto p y S una sección local diferenciable y transversal de φ a p , llamada sección de Poincaré a través de p .
Dado un vecindario abierto y conectado de p , una función
se llama mapa de Poincaré para la órbita γ en la sección de Poincaré S a través del punto p si
- P ( p ) = p
- P ( U ) es un barrio de p y P : T → P ( U ) es un difeomorfismo
- para cada punto x en U , la semiorbita positiva de x interseca a S por primera vez en P ( x )
Mapas de Poincaré y análisis de estabilidad
Los mapas de Poincaré se pueden interpretar como un sistema dinámico discreto . La estabilidad de una órbita periódica del sistema original está estrechamente relacionada con la estabilidad del punto fijo del mapa de Poincaré correspondiente.
Sea ( R , M , φ ) un sistema dinámico diferenciable con órbita periódica γ a través de p . Dejar
ser el mapa de Poincaré correspondiente hasta la p . Definimos
y
entonces ( Z , U , P ) es un sistema dinámico discreto con espacio de estados U y función de evolución
Por definición, este sistema tiene un punto fijo en p .
La órbita periódica γ del sistema dinámico continuo es estable si y solo si el punto fijo p del sistema dinámico discreto es estable.
La órbita periódica γ del sistema dinámico continuo es asintóticamente estable si y solo si el punto fijo p del sistema dinámico discreto es asintóticamente estable.
Ver también
Referencias
enlaces externos
- Shivakumar Jolad, Poincare Map y su aplicación al problema 'Spinning Magnet' , (2005)