En la teoría combinatoria de números , el problema de Erdős-Graham es el problema de demostrar que, si el conjuntode enteros mayores que uno se divide en un número finito de subconjuntos, entonces uno de los subconjuntos puede usarse para formar una representación de la unidad en fracción egipcia . Es decir, para cada, y cada -color de los números enteros mayores que uno, hay un subconjunto monocromático finito de estos enteros tales que
Con más detalle, Paul Erd ands y Ronald Graham conjeturaron que, para lo suficientemente grande, el miembro más grande de podría estar delimitado por por alguna constante independiente de . Se sabía que, para que esto fuera cierto,debe ser al menos la constante de Euler .
Ernie Croot demostró la conjetura como parte de su doctorado tesis, y más tarde (mientras que un post-doctorado investigador en la Universidad de Berkeley ) publicó la prueba en los anales de las matemáticas . El valor que Croot da por es muy grande: es como máximo . El resultado de Croot sigue como corolario de un teorema más general que establece la existencia de representaciones fraccionarias egipcias de la unidad para conjuntosde números suaves en intervalos de la forma, dónde contiene suficientes números para que la suma de sus recíprocos sea al menos seis. La conjetura de Erdős-Graham se sigue de este resultado al mostrar que se puede encontrar un intervalo de esta forma en el que la suma de los recíprocos de todos los números suaves es al menos; por tanto, si los enteros son-color debe haber un subconjunto monocromático satisfaciendo las condiciones del teorema de Croot.
Ver también
Referencias
- Croot, Ernest S., III (2000). Fracciones unitarias (tesis doctoral). Universidad de Georgia , Atenas.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- Croot, Ernest S., III (2003). "Sobre una conjetura para colorear sobre fracciones unitarias". Annals of Mathematics . 157 (2): 545–556. arXiv : matemáticas.NT / 0311421 . doi : 10.4007 / annals.2003.157.545 . Señor 1973054 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- Erdős, Paul; Graham, Ronald L. (1980). Problemas y resultados antiguos y nuevos en la teoría combinatoria de números . Monografías de L'Enseignement Mathématique [Monografías de L'Enseignement Mathématique]. 28 . Ginebra: Universidad de Ginebra, L'Enseignement Mathématique. págs. 30–44. Señor 0592420 .