En econometría y procesamiento de señales , se dice que un proceso estocástico es ergódico si sus propiedades estadísticas pueden deducirse de una sola muestra aleatoria suficientemente larga del proceso. El razonamiento es que cualquier colección de muestras aleatorias de un proceso debe representar las propiedades estadísticas promedio de todo el proceso. En otras palabras, independientemente de cuáles sean las muestras individuales, una vista panorámica de la colección de muestras debe representar todo el proceso. Por el contrario, un proceso que no es ergódico es un proceso que cambia erráticamente a un ritmo inconsistente. [1]
Definiciones específicas
Se puede discutir la ergodicidad de varias estadísticas de un proceso estocástico. Por ejemplo, un proceso estacionario de sentido amplio tiene media constante
- ,
- ,
eso depende solo del lag y no a tiempo . Las propiedades y son promedios de conjuntos, no promedios de tiempo.
El proceso se dice que es ergódica media [2] o ergódica media cuadrática en el primer momento [3] si la estimación media de tiempo
converge en la media cuadrática al promedio del conjunto como .
Del mismo modo, se dice que el proceso sea autocovarianza-ergódico o d momento [3] si la estimación de tiempo medio de
converge en la media cuadrática al promedio del conjunto , como . Un proceso que es ergódico en sentido medio y autocovarianza se denomina a veces ergódico en sentido amplio .
Procesos aleatorios en tiempo discreto
La noción de ergodicidad también se aplica a los procesos aleatorios en tiempo discreto. para entero .
Un proceso aleatorio de tiempo discreto es ergódico en el medio si
converge en la media cuadrática al promedio del conjunto, como .
Ejemplos de
Ergodicidad significa que el promedio del conjunto es igual al promedio de tiempo. Los siguientes son ejemplos para ilustrar este principio.
Centro de llamadas
Cada operador en un centro de llamadas pasa tiempo alternativamente hablando y escuchando el teléfono, además de tomar descansos entre llamadas. Cada pausa y cada llamada tienen una duración diferente, al igual que la duración de cada "ráfaga" de hablar y escuchar, y de hecho también lo es la rapidez del habla en un momento dado, que podría modelarse como un proceso aleatorio.
- Tome N operadores de centros de llamadas ( N debe ser un número entero muy grande) y grafique el número de palabras pronunciadas por minuto para cada operador durante un período prolongado (varios turnos). Para cada operador, tendrá una serie de puntos, que podrían unirse con líneas para crear una 'forma de onda'.
- Calcule el valor promedio de esos puntos en la forma de onda; esto le da el tiempo promedio .
- Hay N formas de onda y N operadores. Estas N formas de onda se conocen como conjunto .
- Ahora tome un instante particular de tiempo en todas esas formas de onda y encuentre el valor promedio de la cantidad de palabras habladas por minuto. Eso le da el promedio del conjunto para ese instante.
- Si el promedio del conjunto siempre es igual al promedio de tiempo, entonces el sistema es ergódico.
Electrónica
Cada resistor tiene asociado un ruido térmico que depende de la temperatura. Tome N resistencias ( N debe ser muy grande) y grafique el voltaje a través de esas resistencias durante un período prolongado. Para cada resistencia tendrá una forma de onda. Calcule el valor promedio de esa forma de onda; esto le da el tiempo promedio. Hay N formas de onda ya que hay N resistencias. Estas N parcelas se conocen como conjunto. Ahora tome un instante particular de tiempo en todos esos gráficos y encuentre el valor promedio del voltaje. Eso le da el promedio del conjunto para cada trama. Si el promedio de conjunto y el promedio de tiempo son iguales, entonces es ergódico.
Ejemplos de procesos aleatorios no ergódicos
- Una caminata aleatoria imparcial no es ergódica. Su valor esperado es cero en todo momento, mientras que su promedio de tiempo es una variable aleatoria con varianza divergente.
- Supongamos que tenemos dos monedas: una moneda es justa y la otra tiene dos caras. Primero elegimos (al azar) una de las monedas y luego realizamos una secuencia de lanzamientos independientes de nuestra moneda seleccionada. Deje X [ n ] denotan los resultados de la n º lanzamiento, con 1 para las cabezas y 0 para las colas. Entonces el promedio del conjunto es 1 ⁄ 2 ( 1 ⁄ 2 + 1) = 3 ⁄ 4 ; sin embargo, el promedio a largo plazo es 1 ⁄ 2 para la moneda justa y 1 para la moneda de dos cabezas. Así el largo plazo de tiempo medio es ya sea 1/2 o 1. Por lo tanto, este proceso aleatorio no es ergódico en la media.
Ver también
- Hipótesis ergódica
- Ergodicidad
- Teoría ergódica , una rama de las matemáticas que se ocupa de una formulación más general de la ergodicidad.
- La paradoja de Loschmidt
- Teorema de recurrencia de Poincaré
Notas
- ^ Originalmente debido a L. Boltzmann. Consulte la parte 2 de Vorlesungen über Gastheorie . Leipzig: JA Barth. 1898. OCLC 01712811 . ('Ergoden' en la página 89 en la reimpresión de 1923). Se utilizó para demostrar la equipartición de energía en la teoría cinética de los gases.
- ↑ Papoulis, p. 428
- ↑ a b Porat, p.14