Autocovarianza

Parte de una serie sobre estadísticas
Correlación y covarianza
Correlación y covarianza de vectores aleatorios Matriz de autocorrelación Matriz de correlación cruzada Matriz de covarianza automática Matriz de covarianza cruzada
Correlación y covarianza de procesos estocásticos Función de autocorrelación Función de correlación cruzada Función de autocovarianza Función de covarianza cruzada
Correlación y covarianza de señales deterministas. Función de autocorrelación Función de correlación cruzada Función de autocovarianza Función de covarianza cruzada
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En teoría de probabilidad y estadística , dado un proceso estocástico , la autocovarianza es una función que da la covarianza del proceso consigo mismo en pares de puntos de tiempo. La autocovarianza está estrechamente relacionada con la autocorrelación del proceso en cuestión.

Auto-covarianza de procesos estocásticos

Definición

Con la notación habitual para el operador de expectativa , si el proceso estocástico tiene la función media , entonces la autocovarianza viene dada por ^{[1] : p. 162}${\displaystyle \operatorname {E} }$${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle \mu _{t}=\operatorname {E} [X_{t}]}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} \left[X_{t_{1}},X_{t_{2}}\right]=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}X_{t_{2}}]-\mu _{t_{1}}\mu _{t_{2}}}$

( Ecuación 2 )

donde y son dos momentos en el tiempo.${\displaystyle t_{1}}$${\displaystyle t_{2}}$

Definición de proceso débilmente estacionario

Si es un proceso débilmente estacionario (WSS) , entonces se cumple lo siguiente: ^{[1] : p. 163}${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$

${\displaystyle \mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu }$ para todos ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

y

${\displaystyle \operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty }$ para todos ${\displaystyle t}$

y

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1},0)\triangleq \operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1})=\operatorname {K} _{XX}(\tau ),}$

donde es el tiempo de retraso, o la cantidad de tiempo que la señal se ha desplazado.${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$

La función de autocovarianza de un proceso WSS viene dada por: ^{[2] : p. 517}

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t}-\mu _{t})(X_{t-\tau }-\mu _{t-\tau })]=\operatorname {E} [X_{t}X_{t-\tau }]-\mu _{t}\mu _{t-\tau }}$

( Ecuación 3 )

que es equivalente a

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{t+\tau })(X_{t}-\mu _{t})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }X_{t}]-\mu ^{2}}$.

Normalización

Es una práctica común en algunas disciplinas (por ejemplo, estadísticas y análisis de series de tiempo ) normalizar la función de autocovarianza para obtener un coeficiente de correlación de Pearson dependiente del tiempo . Sin embargo, en otras disciplinas (por ejemplo, ingeniería) la normalización generalmente se descarta y los términos "autocorrelación" y "autocovarianza" se usan indistintamente.

La definición de autocorrelación normalizada de un proceso estocástico es

${\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}}$.

Si la función está bien definido, su valor debe estar en el intervalo , con 1 que indica una correlación perfecta y -1 indica perfecto anti-correlación .${\displaystyle \rho _{XX}}$${\displaystyle [-1,1]}$

Para un proceso WSS, la definición es

${\displaystyle \rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t}-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]}{\sigma ^{2}}}}$.

dónde

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}}$.

Propiedades

Propiedad de simetría

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {K} _{XX}(t_{2},t_{1})}}}$^{[3] : pág . 169}

respectivamente para un proceso WSS:

${\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {K} _{XX}(-\tau )}}}$^{[3] : pág.173}

Filtrado lineal

La autocovarianza de un proceso filtrado linealmente ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,}$

es

${\displaystyle K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}K_{XX}(\tau +k-l).\,}$

Calcular la difusividad turbulenta

La autocovarianza se puede utilizar para calcular la difusividad turbulenta . ^{[4] La} turbulencia en un flujo puede provocar la fluctuación de la velocidad en el espacio y el tiempo. Por lo tanto, podemos identificar la turbulencia a través de las estadísticas de esas fluctuaciones ^{[ cita requerida ]} .

La descomposición de Reynolds se usa para definir las fluctuaciones de velocidad (suponga que ahora estamos trabajando con el problema 1D y es la velocidad a lo largo de la dirección):${\displaystyle u'(x,t)}$${\displaystyle U(x,t)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle U(x,t)=\langle U(x,t)\rangle +u'(x,t),}$

donde es la velocidad verdadera y es el valor esperado de la velocidad . Si elegimos una correcta , se incluirán todos los componentes estocásticos de la velocidad turbulenta . Para determinarlo , se requiere un conjunto de medidas de velocidad que se ensamblan a partir de puntos en el espacio, momentos en el tiempo o experimentos repetidos.${\displaystyle U(x,t)}$${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$${\displaystyle u'(x,t)}$${\displaystyle \langle U(x,t)\rangle }$

Si asumimos que el flujo turbulento ( y c es el término concentración) puede ser causada por un camino aleatorio, podemos utilizar la Ley de Fick para expresar el término flujo turbulento:${\displaystyle \langle u'c'\rangle }$${\displaystyle c'=c-\langle c\rangle }$

${\displaystyle J_{{\text{turbulence}}_{x}}=\langle u'c'\rangle \approx D_{T_{x}}{\frac {\partial \langle c\rangle }{\partial x}}.}$

La autocovarianza de la velocidad se define como

${\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\rangle }$ o ${\displaystyle K_{XX}\equiv \langle u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\rangle ,}$

donde es el tiempo de retraso y es la distancia de retraso.${\displaystyle \tau }$${\displaystyle r}$

La difusividad turbulenta se puede calcular utilizando los siguientes 3 métodos:${\displaystyle D_{T_{x}}}$

1. Si tenemos datos de velocidad a lo largo de una trayectoria lagrangiana :

   ${\displaystyle D_{T_{x}}=\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}$

2. Si tenemos datos de velocidad en una ubicación fija ( euleriana ) ^{[ cita requerida ]} :
   ${\displaystyle D_{T_{x}}\approx [0.3\pm 0.1]\left[{\frac {\langle u'u'\rangle +\langle u\rangle ^{2}}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .}$
3. Si tenemos información de velocidad en dos ubicaciones fijas (eulerianas) ^{[ cita requerida ]} :
   ${\displaystyle D_{T_{x}}\approx [0.4\pm 0.1]\left[{\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{r}^{\infty }u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\,dr,}$
   donde es la distancia separada por estas dos ubicaciones fijas.${\displaystyle r}$

Auto-covarianza de vectores aleatorios

Artículo principal: matriz de covarianza automática

Ver también

• Proceso autorregresivo
• Correlación
• Covarianza cruzada
• Correlación cruzada
• Estimación de la covarianza de ruido (como ejemplo de aplicación)

Referencias

1. Hsu, Hwei (1997). Probabilidad, variables aleatorias y procesos aleatorios . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-030644-8.
2. Lapidoth, Amos (2009). Una base en la comunicación digital . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-19395-5.
3. Kun Il Park, Fundamentos de probabilidad y procesos estocásticos con aplicaciones a las comunicaciones, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
4. Taylor, GI (1 de enero de 1922). "Difusión por movimientos continuos" (PDF) . Actas de la London Mathematical Society . págs. 2-20 (1): 196–212. doi : 10.1112 / plms / s2-20.1.196 . ISSN 1460-244X .  

• Hoel, PG (1984). Estadística matemática (Quinta ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-471-89045-4.
• Notas de la conferencia sobre autocovarianza de WHOI