En la teoría de la estimación , la estimación de los parámetros de la señal mediante técnicas de rotación invariante (ESPRIT) es una técnica para determinar los parámetros de una mezcla de sinusoides en un ruido de fondo. Esta técnica se propone por primera vez para la estimación de frecuencia, [1] sin embargo, con la introducción de los sistemas phased-array en la tecnología de uso diario, también se utiliza para las estimaciones del ángulo de llegada [2] .
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Descripción general
Definamos un vector de señal como,
dónde representa la frecuencia radial de la k-ésima sinusoide. Construyamos una matriz de Vandermonde para K número de sinusoides, como
Dividamos la matriz A en dos conjuntos, como
y
dónde es una matriz de identidad de tamaño (m-1) -por- (m-1). Está claro que, contiene las primeras (m-1) filas de A, mientras que contiene las últimas (m-1) filas de A.
Ahora, escribamos la siguiente relación,
Aquí, H es una matriz diagonal, donde sus elementos diagonales se pueden escribir en un vector, como,
En otras palabras, los elementos diagonales de H, son las exponenciales complejas con las frecuencias radiales del conjunto . Aquí, está claro que H aplica una rotación a la matriz. ESPRIT aprovecha rotaciones similares de la matriz de covarianza de los datos medidos.
Para comprender el algoritmo en sí, denotemos R como la matriz de covarianza de los datos medidos. Al calcular la descomposición de valores propios de R (a través de algoritmos como la descomposición de valores singulares ), se puede escribir lo siguiente:
donde E es una matriz diagonal que contiene los valores propios de R, en orden decreciente. Aquí, al encontrar los autovalores que son más altos que la varianza del ruido, podemos separar los autovectores ortonormales de U, que corresponden a estos autovalores. Esto se puede señalar como donde mantuvimos solo las primeras K columnas.
Como antes, podemos hacer la siguiente separación en S,
y .
Además, existe una relación entre S y A tal como , donde se conoce el contenido de la matriz F, pero irrelevante para el tema actual. Podemos derivar las siguientes relaciones,
(donde hicimos uso de y ).
Está claro que la matriz P contiene información de rotación con respecto al contenido de frecuencia, de modo que la rotación en el primer conjunto de vectores propios ortonormales cede al segundo conjunto. Además, los valores propios de P son iguales a los elementos diagonales de H. Por lo tanto, al resolver la siguiente ecuación para P,
podemos estimar el contenido de frecuencia. Para lograr esto, la ecuación anterior se puede resolver con el método pseudo inverso (a través de mínimos cuadrados ).
Para hacerlo puede ser escrito.
Finalmente, al encontrar los ángulos de los valores propios de P, se puede estimar el conjunto .
Ejemplo de algoritmo
A continuación se proporciona un pseudocódigo para la implementación del algoritmo ESPRIT.
función Esprit ( Y , model_order , number_of_sources ): m = model_order n = number_of_sources cree la matriz de covarianza R, a partir de las mediciones ruidosas y. El tamaño de R será (m por m). calcular el svd de R [U, E, V] = svd (R) obtener los vectores propios ortonormales correspondientes a las fuentes S = U (:, 1: n) dividir los vectores propios ortonormales en dos S1 = S (1: m-1, :) y S2 = S (2: m, :) calcular P a través de LS ( operador de barra invertida de MATLAB ) P = S1 \ S2 hallar los ángulos de los valores propios de P w = ángulo (eig (P)) / (2 * pi * elspacing) doa = asind (w)% devuelve el ángulo doa tomando el arco en grados volver 'doa
Ver también
Referencias
- ^ Paulraj, A .; Roy, R .; Kailath, T. (1985), "Estimación de parámetros de señal a través de técnicas de invariancia rotacional - Esprit", Decimonovena Conferencia de Asilomar sobre circuitos, sistemas y computadoras , págs. 83–89, doi : 10.1109 / ACSSC.1985.671426 , ISBN 978-0-8186-0729-5
- ^ Volodymyr Vasylyshyn. Estimación de la dirección de llegada utilizando ESPRIT con matrices dispersas // Proc. Conferencia Europea de Radar 2009 (EuRAD). - 30 de septiembre al 2 de octubre de 2009. - Pp. 246 - 249. - [1]
Otras lecturas
- Paulraj, A .; Roy, R .; Kailath, T. (1985), "Estimación de parámetros de señal a través de técnicas de invariancia rotacional - Esprit", Decimonovena Conferencia de Asilomar sobre circuitos, sistemas y computadoras , págs. 83–89, doi : 10.1109 / ACSSC.1985.671426 , ISBN 978-0-8186-0729-5.
- Roy, R .; Kailath, T. (1989). "Esprit - estimación de parámetros de señal mediante técnicas de invariancia rotacional" (PDF) . Transacciones IEEE sobre acústica, habla y procesamiento de señales . 37 (7): 984–995. doi : 10.1109 / 29.32276 ..
- Ibrahim, AM; Marei, MI; Mekhamer, SF; Mansour, MM (2011). "Un enfoque de protección basado en redes neuronales artificiales utilizando la estimación de mínimos cuadrados totales de parámetros de señal a través de la técnica de invariancia rotacional para líneas de transmisión compensadas del sistema de transmisión de CA flexible". Componentes y sistemas de energía eléctrica . 39 (1): 64–79. doi : 10.1080 / 15325008.2010.513363 .
- Haardt, M., Zoltowski, MD, Mathews, CP y Nossek, J. (mayo de 1995). ESPRIT unitario 2D para una estimación de parámetros 2D eficiente. En icassp (págs. 2096-2099). IEEE.