En matemáticas , y en particular, álgebra , un inverso generalizado (o g-inverso ) de un elemento x es un elemento y que tiene algunas propiedades de un elemento inverso pero no necesariamente todas. Las inversas generalizadas se pueden definir en cualquier estructura matemática que implique multiplicación asociativa , es decir, en un semigrupo . Este artículo describe las inversas generalizadas de una matriz. .
Una matriz es un inverso generalizado de una matriz Si [1] [2] [3]
El propósito de construir una inversa generalizada de una matriz es obtener una matriz que pueda servir como inversa en algún sentido para una clase más amplia de matrices que las matrices invertibles. Existe una inversa generalizada para una matriz arbitraria, y cuando una matriz tiene una inversa regular , esta inversa es su única inversa generalizada. [1]
Motivación
Considere el sistema lineal
dónde es un matriz y el espacio de la columna de. Sino es singular (lo que implica) luego será la solución del sistema. Tenga en cuenta que, si es no singular, entonces
Ahora suponga es rectangular), o cuadrado y singular. Entonces necesitamos un candidato adecuado de orden tal que para todos
Es decir, es una solución del sistema lineal . De manera equivalente, necesitamos una matriz de orden tal que
Por tanto, podemos definir el inverso generalizado de la siguiente manera: Dado un matriz , un matriz se dice que es un inverso generalizado de Si [1] [2] [3] La matrizse ha denominado un inverso regular depor algunos autores. [5]
Tipos
Las condiciones de Penrose definen diferentes inversas generalizadas para y
Dónde indica transposición conjugada. Sisatisface la primera condición, entonces es un inverso generalizado de. Si satisface las dos primeras condiciones, entonces es un inverso generalizado reflexivo de. Si satisface las cuatro condiciones, entonces es un pseudoinverso de, denotado por . [6] [7] [2] [8] Un pseudoinverso a veces se denomina inverso de Moore-Penrose , en honor a los trabajos pioneros de EH Moore y Roger Penrose . [6] [9] [10] [11] [12]
Cuándo no es singular, cualquier inverso generalizado y es único. De lo contrario, hay un número infinito de-inversos para un dado con menos de 4 elementos. Sin embargo, el pseudoinverso es único. [13] ( Nota: y -inverso se definen en la subsección de condiciones de Penrose a continuación y no deben confundirse con otro uso común de para significar una matriz de identidad).
Hay otros tipos de inversa generalizada:
- Inversa unilateral (inversa a la derecha o inversa a la izquierda)
- Inversa a la derecha: si la matriz tiene dimensiones y , entonces existe un matriz llamado el inverso derecho de tal que , dónde es el matriz de identidad .
- Inversa a la izquierda: si la matriz tiene dimensiones y , entonces existe un matriz llamado el inverso izquierdo de tal que , dónde es el matriz de identidad. [14]
Ejemplos de
Reflexivo generalizado inverso
Dejar
Desde , es singular y no tiene inversa regular. Sin embargo, y satisfacen las condiciones de Penrose (1) y (2), pero no (3) ni (4). Por eso, es un inverso generalizado reflexivo de .
Inversa unilateral
Dejar
Desde no es cuadrado, no tiene inversa regular. Sin embargo, es un inverso a la derecha de . La matriz no tiene inversa izquierda.
Inversa de otros semigrupos (o anillos)
El elemento b es un inverso generalizado de un elemento a si y solo si, en cualquier semigrupo (o anillo , ya que la función de multiplicación en cualquier anillo es un semigrupo).
Las inversas generalizadas del elemento 3 en el anillo son 3, 7 y 11, ya que en el ring :
Las inversas generalizadas del elemento 4 en el anillo son 1, 4, 7 y 10, ya que en el ring :
Si un elemento a en un semigrupo (o anillo) tiene una inversa, la inversa debe ser la única inversa generalizada de este elemento, como los elementos 1, 5, 7 y 11 en el anillo..
En el ring , cualquier elemento es un inverso generalizado de 0, sin embargo, 2 no tiene inverso generalizado, ya que no hay b en tal que .
Construcción
Las siguientes caracterizaciones son fáciles de verificar:
- Un inverso a la derecha de una matriz no cuadrada es dado por , previsto tiene rango de fila completo. [14]
- Un inverso a la izquierda de una matriz no cuadrada es dado por , previsto tiene rango de columna completo. [14]
- Si es una factorización de rango , entonces es una g-inversa de , dónde es un inverso a la derecha de y se deja inverso de .
- Si para cualquier matriz no singular y , luego es un inverso generalizado de por arbitrario y .
- Dejar ser de rango . Sin pérdida de generalidad, dejemos dónde es la submatriz no singular de . Luego,es un inverso generalizado de .
Usos
Se puede usar cualquier inverso generalizado para determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones y, de ser así, darlas todas. Si existen soluciones para el sistema lineal n × m
- ,
con vector de incógnitas y vector de constantes, todas las soluciones están dadas por
- ,
paramétrico en el vector arbitrario , dónde es cualquier inverso generalizado de . Las soluciones existen si y solo si es una solución, es decir, si y solo si . Si A tiene rango de columna completo, la expresión entre corchetes en esta ecuación es la matriz cero y, por lo tanto, la solución es única. [15]
Condiciones de Penrose
Las condiciones de Penrose se utilizan para clasificar y estudiar diferentes inversas generalizadas. Como se señaló anteriormente, las condiciones de Penrose son:
A diferencia de lo anterior, aquí la numeración de las propiedades es relevante; esta numeración se utiliza en la literatura. [1] Una-inverso de, dónde , es un inverso generalizado de que satisfaga las condiciones de Penrose enumeradas en . Por ejemplo, un inverso reflexivo es un-inverso, un inverso a la derecha es un -inverso, un inverso a la izquierda es un -inverso, y un pseudoinverso es un -inverso. Se ha dedicado mucha investigación al estudio entre estas diferentes clases de inversas generalizadas; muchos de estos resultados se pueden encontrar a partir de referencias. [1] Un ejemplo de tal resultado es el siguiente:
- para cualquier -inverso y -inverso . En particular,para cualquier -inverso .
La sección sobre inversas generalizadas de matrices proporciona caracterizaciones explícitas para las diferentes clases.
Inversas generalizadas de matrices
Las inversas generalizadas de matrices se pueden caracterizar de la siguiente manera. Dejar, y
sea su descomposición en valor singular . Luego, para cualquier inverso generalizado, existen [1] matrices, , y tal que
Por el contrario, cualquier elección de , , y para la matriz de esta forma es un inverso generalizado de . [1] El-los inversos son exactamente aquellos para los que , la -los inversos son exactamente aquellos para los que , y el -los inversos son exactamente aquellos para los que . En particular, la pseudoinversa viene dada por:
Propiedades de consistencia de transformación
En aplicaciones prácticas, es necesario identificar la clase de transformaciones matriciales que deben conservarse mediante una inversa generalizada. Por ejemplo, la inversa de Moore-Penrose,satisface la siguiente definición de consistencia con respecto a las transformaciones que involucran matrices unitarias U y V :
- .
La inversa de Drazin, satisface la siguiente definición de consistencia con respecto a las transformaciones de similitud que involucran una matriz no singular S :
- .
El inverso de unidad coherente (UC), [16] satisface la siguiente definición de consistencia con respecto a las transformaciones que involucran matrices diagonales no singulares D y E :
- .
El hecho de que la inversa de Moore-Penrose proporcione consistencia con respecto a las rotaciones (que son transformaciones ortonormales) explica su uso generalizado en física y otras aplicaciones en las que se deben preservar las distancias euclidianas. La UC inversa, por el contrario, es aplicable cuando se espera que el comportamiento del sistema sea invariante con respecto a la elección de unidades en diferentes variables de estado, por ejemplo, millas versus kilómetros.
Ver también
- Pseudoinverso de matriz de bloques
- Pruebas que involucran la inversa de Moore-Penrose
- Semigrupo regular
Citas
- ↑ a b c d e f g Ben-Israel y Greville , 2003 , págs. 2, 7
- ↑ a b c Nakamura 1991 , págs. 41–42
- ↑ a b Rao & Mitra 1971 , págs. vii, 20
- ^ Rao y Mitra 1971 , p. 24
- ^ Rao y Mitra 1971 , págs. 19-20
- ↑ a b Ben-Israel y Greville , 2003 , p. 7
- ^ Campbell y Meyer 1991 , p. 9
- ^ Rao y Mitra 1971 , págs. 20, 28, 51
- ^ Campbell y Meyer 1991 , p. 10
- ^ James 1978 , p. 114
- ^ Nakamura 1991 , p. 42
- ^ Rao y Mitra 1971 , p. 50–51
- ^ James 1978 , págs. 113-114
- ↑ a b c Rao y Mitra 1971 , p. 19
- ^ James 1978 , págs. 109-110
- ^ Uhlmann 2018
Fuentes
Libro de texto
- Ben-Israel, Adi ; Greville, Thomas Nall Eden (2003). Inversos generalizados: teoría y aplicaciones (2ª ed.). Nueva York, NY: Springer. doi : 10.1007 / b97366 . ISBN 978-0-387-00293-4.
- Campbell, Stephen L .; Meyer, Carl D. (1991). Inversiones generalizadas de transformaciones lineales . Dover. ISBN 978-0-486-66693-8.
- Horn, Roger Alan ; Johnson, Charles Royal (1985). Análisis matricial . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-38632-6.
- Nakamura, Yoshihiko (1991). Robótica avanzada: redundancia y optimización . Addison-Wesley. ISBN 978-0201151985.
- Rao, C. Radhakrishna; Mitra, Sujit Kumar (1971). Inversa generalizada de matrices y sus aplicaciones . Nueva York: John Wiley & Sons. págs. 240 . ISBN 978-0-471-70821-6.
Publicación
- James, M. (junio de 1978). "La inversa generalizada". La Gaceta Matemática . 62 (420): 109-114. doi : 10.2307 / 3617665 . JSTOR 3617665 .
- Uhlmann, Jeffrey K. (2018). "Una matriz inversa generalizada que es coherente con respecto a las transformaciones diagonales" (PDF) . Revista SIAM sobre Análisis y Aplicaciones Matriciales . 239 (2): 781–800. doi : 10.1137 / 17M113890X .
- Zheng, Bing; Bapat, Ravindra (2004). "Inversa generalizada A (2) T, S y una ecuación de rango". Matemática Aplicada y Computación . 155 (2): 407–415. doi : 10.1016 / S0096-3003 (03) 00786-0 .