En matemáticas , la firma ( v , p , r ) de un tensor métrico g (o de manera equivalente, una forma cuadrática real pensada como una forma bilineal simétrica real en un espacio vectorial de dimensión finita ) es el número (contado con multiplicidad) de valores propios positivos, negativos y cero de la matriz simétrica real g ab del tensor métrico con respecto a una base . En física relativista , la v representa el tiempo o dimensión virtual, y la p para el espacio y la dimensión física. Alternativamente, se puede definir como las dimensiones de un subespacio máximo positivo y nulo . Según la ley de inercia de Sylvester, estos números no dependen de la elección de la base. La firma clasifica así la métrica hasta una elección de base. La firma a menudo se denota mediante un par de números enteros ( v , p ) que implican r = 0, o como una lista explícita de signos de valores propios como (+, -, -, -) o (-, +, +, +) para las firmas (1, 3, 0) y (3, 1, 0) , respectivamente.[1]
Se dice que la firma es indefinida o mixta si tanto v como p son distintos de cero, y se degenera si r es distinto de cero. Una métrica de Riemann es una métrica con una firma definida positiva ( v , 0) . Una métrica de Lorentzian es una métrica con firma ( p , 1) o (1, p ) .
Hay otra noción de la firma de un tensor métrico no degenerado dado por un solo número s definido como ( v - p ) , donde v y p son como anteriormente, que es equivalente a la definición anterior cuando la dimensión n = v + p es dado o implícito. Por ejemplo, s = 1 - 3 = −2 para (+, -, -, -) y su reflejo s ' = - s = +2 para (-, +, +, +) .
La firma de un tensor métrico se define como la firma de la forma cuadrática correspondiente . [2] Es el número ( v , p , r ) de valores propios positivos y cero de cualquier matriz (es decir, en cualquier base del espacio vectorial subyacente) que representa la forma, contados con sus multiplicidades algebraicas . Por lo general, se requiere r = 0 , que es lo mismo que decir que un tensor métrico debe ser no degenerado, es decir, ningún vector distinto de cero es ortogonal a todos los vectores.
Según la ley de inercia de Sylvester, los números ( v , p , r ) son independientes de la base.
Según el teorema espectral, una matriz simétrica n × n sobre los reales siempre es diagonalizable y, por lo tanto, tiene exactamente n valores propios reales (contados con multiplicidad algebraica ). Por tanto, v + p = n = dim ( V ) .
De acuerdo con la ley de inercia de Sylvester , la firma del producto escalar (también conocida como forma bilineal simétrica real), g no depende de la elección de la base. Además, para cada métrica g de firma ( v , p , r ) existe una base tal que g ab = +1 para a = b = 1, ..., v , g ab = −1 para a = b = v + 1, ..., v + p y g ab= 0 en caso contrario. De ello se deduce que existe una isometría ( V 1 , g 1 ) → ( V 2 , g 2 ) si y solo si las firmas de g 1 y g 2 son iguales. Asimismo, la firma es igual para dos matrices congruentes y clasifica una matriz hasta la congruencia. De manera equivalente, la firma es constante en las órbitas del grupo lineal general GL ( V ) en el espacio de tensores contravariantes simétricos de rango 2 S 2 V ∗ y clasifica cada órbita.
El número v (resp. P ) es la dimensión máxima de un subespacio vectorial en el que el producto escalar g es positivo-definido (resp. Negativo-definido), y r es la dimensión del radical del producto escalar go el nulo subespacio de la matriz simétrica g ab del producto escalar . Por tanto, un producto escalar no degenerado tiene la firma ( v , p , 0) , con v + p = n . Una dualidad de los casos especiales ( v ,p , 0) corresponden a dos valores propios escalares que pueden transformarse entre sí mediante el reflejo recíproco.
La firma de la matriz identidad n × n es ( n , 0, 0) . La firma de una matriz diagonal es el número de números positivos, negativos y cero en su diagonal principal .
Las siguientes matrices tienen la misma firma (1, 1, 0) , por lo tanto, son congruentes debido a la ley de inercia de Sylvester :
El producto escalar estándar definido en tiene las firmas n- dimensionales ( v , p , r ) , donde v + p = n y rango r = 0 .
En física, el espacio de Minkowski es una variedad de espacio-tiempo con bases v = 1 yp = 3, y tiene un producto escalar definido por la matriz:
que tiene firma y se conoce como supremacía espacial o similar al espacio; o la firma reflejada , conocida como supremacía virtual o similar al tiempo con la matriz.
Existen algunos métodos para calcular la firma de una matriz.
En matemáticas, la convención habitual para cualquier variedad de Riemann es usar un tensor métrico positivo-definido (lo que significa que después de la diagonalización, los elementos de la diagonal son todos positivos).
En física teórica , el espacio-tiempo está modelado por una variedad pseudo-riemanniana . La firma cuenta cuántos caracteres similares al tiempo o al espacio hay en el espacio-tiempo, en el sentido definido por la relatividad especial : como se usa en la física de partículas , la métrica tiene un valor propio en el subespacio similar al tiempo, y su valor propio reflejado en el subespacio similar al espacio. En el caso específico de la métrica de Minkowski ,
la firma métrica es o (+, -, -, -) si su valor propio está definido en la dirección del tiempo, o o (-, +, +, +) si el valor propio está definido en las tres direcciones espaciales x , y y z . (A veces se usa la convención de signos opuesta , pero con la que se da aquí, s mide directamente el tiempo adecuado ).
Si una métrica es regular en todas partes, la firma de la métrica es constante. Sin embargo, si se permiten métricas degeneradas o discontinuas en algunas hipersuperficies, entonces la firma de la métrica puede cambiar en estas superficies. [3] Es posible que tales métricas de cambio de firmas tengan aplicaciones en cosmología y gravedad cuántica .