La ley de inercia de Sylvester es un teorema en álgebra matricial sobre ciertas propiedades de la matriz de coeficientes de una forma cuadrática real que permanecen invariantes bajo un cambio de base . Es decir, si A es la matriz simétrica que define la forma cuadrática, y S es cualquier matriz invertible tal que D = SAS T es diagonal, entonces el número de elementos negativos en la diagonal de D es siempre el mismo, para todos esos S ; y lo mismo ocurre con el número de elementos positivos.
Esta propiedad lleva el nombre de James Joseph Sylvester, quien publicó su prueba en 1852. [1] [2]
Declaración
Sea A una matriz cuadrada simétrica de orden n con entradas reales . Cualquier matriz no singular S del mismo tamaño se dice para transformar A en otra matriz simétrica B = SAS T , también de orden n , en donde S T es la transpuesta de S . También se dice que las matrices A y B son congruentes. Si A es la matriz de coeficientes de alguna forma cuadrática de R n , entonces B es la matriz de la misma forma después de que el cambio de la base definida por S .
Una matriz simétrica A siempre se puede transformar de esta manera en una matriz diagonal D que solo tiene entradas 0, +1 y −1 a lo largo de la diagonal. La ley de inercia de Sylvester establece que el número de entradas diagonales de cada tipo es un invariante de A , es decir, no depende de la matriz S utilizada.
El número de + 1s, denotado n + , se llama índice de inercia positivo de A , y el número de -1s, denotado n - , se llama índice de inercia negativo . El número de 0s, denotado n 0 , es la dimensión del espacio nulo de A , conocida como la nulidad de A . Estos números satisfacen una relación obvia
La diferencia, sgn ( A ) = n + - n - , por lo general se llama la firma de A . (Sin embargo, algunos autores usan ese término para el triple ( n 0 , n + , n - ) que consiste en la nulidad y los índices de inercia positivo y negativo de A ; para una forma no degenerada de una dimensión dada estos son datos equivalentes , pero en general el triple arroja más datos).
Si la matriz A tiene la propiedad de que cada principal superior izquierdo k × k menor Δ k es distinto de cero, entonces el índice de inercia negativo es igual al número de cambios de signo en la secuencia.
Declaración en términos de valores propios
La ley también se puede enunciar de la siguiente manera: dos matrices cuadradas simétricas del mismo tamaño tienen el mismo número de valores propios positivos, negativos y cero si y solo si son congruentes [3] (, para algunos no singulares ).
Los índices positivos y negativos de una matriz simétrica A son también el número de positivos y negativos valores propios de A . Cualquier matriz real simétrica A tiene una descomposición propia de la forma QEQ T donde E es una matriz diagonal que contiene los valores propios de A y Q es una matriz cuadrada ortonormal que contiene los vectores propios. La matriz E se puede escribir E = WDW T donde D es diagonal con entradas 0, +1 o −1, y W es diagonal con W ii = √ | E ii |. La matriz S = QW transforma D a A .
Ley de inercia para formas cuadráticas
En el contexto de las formas cuadráticas , una forma cuadrática real Q en n variables (o en un espacio vectorial real n- dimensional) se puede llevar a la diagonal mediante un cambio adecuado de base (por transformación lineal no singular de xay) formulario
con cada a i ∈ {0, 1, −1}. La ley de inercia de Sylvester establece que el número de coeficientes de un signo dado es un invariante de Q , es decir, no depende de una elección particular de base de diagonalización. Expresada geométricamente, la ley de la inercia dice que todos los subespacios máximos en los que la restricción de la forma cuadrática es positiva definida (respectivamente, negativa definida) tienen la misma dimensión . Estas dimensiones son los índices de inercia positivo y negativo.
Generalizaciones
La ley de inercia de Sylvester también es válida si A y B tienen entradas complejas. En este caso, se dice que A y B son * -congruentes si y solo si existe una matriz compleja no singular S tal que B = SAS ∗ En el escenario complejo, una forma de enunciar la ley de inercia de Sylvester es que si A y B son matrices hermitianas , entonces A y B son * -congruentes si y solo si tienen la misma inercia.
Ostrowski demostró una generalización cuantitativa de la ley de inercia de Sylvester: [4] [5] si A y B son * -congruentes con B = SAS ∗ , entonces sus valores propios λ i están relacionados por
.
donde θ i son tales que λ n ( SS * ) ≤ θ i ≤ λ 1 ( SS * ).
Un teorema debido a Ikramov generaliza la ley de inercia a cualquier matriz normal A y B : [6] Si A y B son matrices normales , entonces A y B son congruentes si y solo si tienen el mismo número de valores propios en cada rayo abierto. desde el origen en el plano complejo.
Ver también
Referencias
- ↑ Sylvester, James Joseph (1852). "Una demostración del teorema de que todo polinomio cuadrático homogéneo es reducible mediante sustituciones ortogonales reales a la forma de una suma de cuadrados positivos y negativos" (PDF) . Revista Filosófica . Cuarta Serie. 4 (23): 138-142. doi : 10.1080 / 14786445208647087 . Consultado el 27 de junio de 2008 .
- ^ Norman, CW (1986). Álgebra de pregrado . Prensa de la Universidad de Oxford . págs. 360–361. ISBN 978-0-19-853248-4.
- ^ Carrell, James B. (2017). Grupos, matrices y espacios vectoriales: un enfoque teórico de grupos para el álgebra lineal . Saltador. pag. 313. ISBN 978-0-387-79428-0.
- ^ Ostrowski, Alexander M. (1959). "Una formulación cuantitativa de la ley de inercia de Sylvester" (PDF) . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . Una formulación cuantitativa de la ley de inercia de Sylvester: 740–744.
- ^ Higham, Nicholas J .; Cheng, Sheung Hun (1998). "Modificar la inercia de matrices que surgen en la optimización" . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 275-276: 261-279. doi : 10.1016 / S0024-3795 (97) 10015-5 .
- ^ Ikramov, Kh. D. (2001). "Sobre la ley de inercia para matrices normales". Matemáticas Doklady . 64 : 141-142.
- Garling, DJH (2011). Álgebras de Clifford. Una introducción . Textos estudiantiles de la London Mathematical Society. 78 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-1-107-09638-7. Zbl 1235.15025 .
enlaces externos
- Ley de Sylvester en PlanetMath .
- Ley de inercia y * -congruencia de Sylvester