En matemáticas , los ordinales pares e impares extienden el concepto de paridad de los números naturales a los ordinales . Son útiles en algunas pruebas de inducción transfinitas .
La literatura contiene algunas definiciones equivalentes de la paridad de un α ordinal:
- Todo límite ordinal (incluido 0) es par. El sucesor de un ordinal par es impar y viceversa. [1] [2]
- Sea α = λ + n , donde λ es un ordinal límite y n es un número natural. La paridad de α es la paridad de n . [3]
- Sea n el término finito de la forma normal de Cantor de α. La paridad de α es la paridad de n . [4]
- Sea α = ωβ + n , donde n es un número natural. La paridad de α es la paridad de n . [5]
- Si α = 2β, entonces α es par. De lo contrario, α = 2β + 1 y α es impar. [5] [6]
A diferencia del caso de los números enteros pares , no se puede continuar caracterizando a los ordinales pares como números ordinales de la forma β2 = β + β. La multiplicación ordinal no es conmutativa, por lo que en general 2β ≠ β2. De hecho, el ordinal par ω + 4 no se puede expresar como β + β, y el número ordinal
- (ω + 3) 2 = (ω + 3) + (ω + 3) = ω + (3 + ω) + 3 = ω + ω + 3 = ω2 + 3
ni siquiera es.
Una aplicación simple de la paridad ordinal es la ley de idempotencia para la adición cardinal (dado el teorema del buen orden ). Dado un infinito cardinal κ, o generalmente cualquier límite ordinal κ, κ es orden-isomorfo tanto para su subconjunto de ordinales pares como para su subconjunto de ordinales impares. Por lo tanto, uno tiene la suma cardinal κ + κ = κ. [2] [7]
Referencias
- ^ Bruckner, Andrew M .; Judith B. Bruckner y Brian S. Thomson (1997). Análisis real . págs. 37 . ISBN 0-13-458886-X.
- ^ a b Salzmann, H., T. Grundhöfer, H. Hähl y R. Löwen (2007). Los campos clásicos: características estructurales de los números reales y racionales . Prensa de la Universidad de Cambridge. pp. 168 . ISBN 0-521-86516-6.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Foran, James (1991). Fundamentos del análisis real . Prensa CRC. págs. 110 . ISBN 0-8247-8453-7.
- ^ Harzheim, Egbert (2005). Conjuntos ordenados . Saltador. págs. 296 . ISBN 0-387-24219-8.
- ^ a b Kamke, Erich (1950). Teoría de Conjuntos . Mensajero Dover. pag. 96. ISBN 0-486-60141-2.
- ^ Hausdorff, Felix (1978). Establecer teoría . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 99. ISBN 0-8284-0119-5.
- ^ Roitman, Judith (1990). Introducción a la teoría moderna de conjuntos . Wiley-IEEE. pp. 88 . ISBN 0-471-63519-7.