Divisor excepcional

de variedades es una especie de subvariedad "grande" de la cual es "aplastada" , en cierto sentido definido. Más estrictamente, f tiene un locus excepcional asociado que describe cómo identifica puntos cercanos en la codimensión uno, y el divisor excepcional es una construcción algebraica apropiada cuyo soporte es el locus excepcional. Las mismas ideas se pueden encontrar en la teoría de los mapeos holomórficos de variedades complejas . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle f}$

es un mapa regular de variedades que es biracional (es decir, es un isomorfismo entre subconjuntos abiertos de y ). Se dice que una subvariedad de codimensión-1 es excepcional si tiene la codimensión al menos 2 como subvariedad de . Entonces se puede definir el divisor excepcional de ser ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle Z \ subconjunto X}$ ${\ Displaystyle f (Z)}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle f}$

donde la suma está sobre todas las subvariedades excepcionales de , y es un elemento del grupo de divisores de Weil en . ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle X}$

La consideración de divisores excepcionales es crucial en la geometría bracional : un resultado elemental (ver, por ejemplo, Shafarevich, II.4.4) muestra (bajo supuestos adecuados) que cualquier mapa regular bracional que no sea un isomorfismo tiene un divisor excepcional. Un ejemplo particularmente importante es la explosión

en este caso, el divisor excepcional es exactamente la preimagen de . ${\ Displaystyle W}$