Morfismo de variedades algebraicas

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En geometría algebraica , una función de una variedad casi afín a su campo subyacente , es una función regular si para un punto arbitrario existe una vecindad abierta U alrededor de ese punto tal que f puede expresarse por fracción como en la que son polinomios en el espacio afín ambiental de tal que h no es cero en ninguna parte en U . ^[1] Un mapa regular de una variedad arbitraria a un espacio afín es un mapa dado por n-tuplas de funciones regulares. ^{[un] [2]}${\displaystyle f\dos puntos Y\to k}$ ${\ estilo de visualización Y}$${\ estilo de visualización k}$${\ estilo de visualización P}$${\ estilo de visualización Y}$${\ estilo de visualización g/h}$${\ estilo de visualización g, h}$${\ estilo de visualización Y}$${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización \ mathbb {A} ^ {n}}$Un morfismo entre dos variedades es una aplicación continua tal que para todo conjunto abierto y toda función regular como , la función es regular. ^[3] La composición de los morfismos son morfismos, por lo que constituyen una categoría . En esta categoría, un morfismo que tiene un inverso se llama isomorfismo . ^[4] Decimos que dos variedades son isomorfas si existe isomorfismo entre ellas o, de manera equivalente, si sus anillos de coordenadas son isomorfos (es decir , ) como álgebras sobre sus campos subyacentes. ^{[2] [ dudoso –}${\ estilo de visualización X, Y}$${\ estilo de visualización \ varphi \ dos puntos X \ a Y}$${\displaystyle V\subseteq Y}$${\displaystyle f\dos puntos V\to k}$${\displaystyle f\circ \varphi \colon \varphi ^{-1}(V)\to k}$${\ estilo de visualización X, Y}$${\displaystyle A(X)\cong A(Y)}$ ^{discutir ]}

Si X e Y son subvariedades cerradas de y (por lo que son variedades afines ), entonces un mapa regular es la restricción de un mapa polinomial Explícitamente, tiene la forma: ^[6]${\ estilo de visualización \ mathbb {A} ^ {n}}$${\ estilo de visualización \ mathbb {A} ^ {m}}$${\displaystyle f\dos puntos X\a Y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m}}$

donde las s están en el anillo de coordenadas de X :${\ estilo de visualización f_ {i}}$

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