En la teoría matemática de los sistemas dinámicos , una dicotomía exponencial es una propiedad de un punto de equilibrio que extiende la idea de hiperbolicidad a sistemas no autónomos .
Definición
Si
es un sistema dinámico lineal no autónomo en R n con matriz solución fundamental Φ ( t ), Φ (0) = I , entonces se dice que el punto de equilibrio 0 tiene una dicotomía exponencial si existe una matriz (constante) P tal que P 2 = P y constantes positivas K , L , α y β tales que
y
Si además, L = 1 / K y β = α, entonces se dice que 0 tiene una dicotomía exponencial uniforme .
Las constantes α y β nos permiten definir la ventana espectral del punto de equilibrio, (−α, β).
Explicación
La matriz P es una proyección sobre el subespacio estable e I - P es una proyección sobre el subespacio inestable. Lo que dice la dicotomía exponencial es que la norma de la proyección en el subespacio estable de cualquier órbita en el sistema decae exponencialmente cuando t → the y la norma de la proyección en el subespacio inestable de cualquier órbita decae exponencialmente como t → −∞, y Además, los subespacios estable e inestable se conjugan (porque).
Un punto de equilibrio con una dicotomía exponencial tiene muchas de las propiedades de un punto de equilibrio hiperbólico en sistemas autónomos . De hecho, se puede demostrar que un punto hiperbólico tiene una dicotomía exponencial.
Referencias
- Coppel, WA Dicotomías en la teoría de la estabilidad , Springer-Verlag (1978), ISBN 978-3-540-08536-2 doi : 10.1007 / BFb0067780