En el estudio de sistemas dinámicos , un punto de equilibrio hiperbólico o un punto fijo hiperbólico es un punto fijo que no tiene ninguna variedad central . Cerca de un punto hiperbólico , las órbitas de un sistema bidimensional no disipativo se asemejan a hipérbolas. Esto no se sostiene en general. Strogatz señala que "hiperbólico es un nombre desafortunado, parece que debería significar ' punto de silla ', pero se ha convertido en estándar". [1] Varias propiedades son válidas sobre la vecindad de un punto hiperbólico, en particular [2]
- Existe una variedad estable y una variedad inestable,
- Ocurre sombreado ,
- La dinámica en el conjunto invariante se puede representar mediante dinámica simbólica ,
- Se puede definir una medida natural,
- El sistema es estructuralmente estable .
Mapas
Si es un mapa C 1 yp es un punto fijo, entonces se dice que p es un punto fijo hiperbólico cuando la matriz jacobiana no tiene valores propios en el círculo unitario .
Un ejemplo de un mapa cuyo único punto fijo es hiperbólico es el mapa del gato de Arnold :
Dado que los valores propios están dados por
Sabemos que los exponentes de Lyapunov son:
Por tanto, es un punto silla.
Flujos
Dejar sea un campo vectorial C 1 con un punto crítico p , es decir, F ( p ) = 0, y sea J la matriz jacobiana de F en p . Si la matriz J no tiene valores propios con cero partes reales, entonces p se llama hiperbólica . Los puntos fijos hiperbólicos también pueden denominarse puntos críticos hiperbólicos o puntos críticos elementales . [3]
El teorema de Hartman-Grobman establece que la estructura de la órbita de un sistema dinámico en una vecindad de un punto de equilibrio hiperbólico es topológicamente equivalente a la estructura de la órbita del sistema dinámico linealizado .
Ejemplo
Considere el sistema no lineal
(0, 0) es el único punto de equilibrio. La linealización en el equilibrio es
Los valores propios de esta matriz son . Para todos los valores de α ≠ 0, los valores propios tienen una parte real distinta de cero. Por tanto, este punto de equilibrio es un punto de equilibrio hiperbólico. El sistema linealizado se comportará de manera similar al sistema no lineal cerca de (0, 0). Cuando α = 0, el sistema tiene un equilibrio no hiperbólico en (0, 0).
Comentarios
En el caso de un sistema de dimensión infinita, por ejemplo, sistemas que implican un retardo de tiempo, la noción de "parte hiperbólica del espectro" se refiere a la propiedad anterior.
Ver también
Notas
- ^ Strogatz, Steven (2001). Dinámica no lineal y caos . Westview Press. ISBN 0-7382-0453-6.
- ^ Ott, Edward (1994). Caos en sistemas dinámicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-43799-7.
- ^ Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de la Mecánica . Misa de lectura: Benjamin / Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
Referencias
- Eugene M. Izhikevich (ed.). "Equilibrio" . Scholarpedia .