En matemática combinatoria , la fórmula exponencial (llamada expansión polimérica en física ) establece que la función generadora exponencial para estructuras en conjuntos finitos es el exponencial de la función generadora exponencial para estructuras conectadas. La fórmula exponencial es una versión en serie de potencias de un caso especial de la fórmula de Faà di Bruno .
Declaración
Para cualquier serie de poder formal de la forma
tenemos
dónde
y el índice π recorre la lista de todas las particiones { S 1 , ..., S k } del conjunto {1, ..., n }. (Cuando k = 0, el producto está vacío y por definición es igual a 1.)
Se puede escribir la fórmula de la siguiente forma:
y por lo tanto
donde B n ( a 1 , ..., a n ) es el n- ésimo polinomio completo de Bell .
Ejemplos de
- debido a que hay una partición del conjunto {1, 2, 3} que tiene un solo bloque de tamaño 3, hay tres particiones de {1, 2, 3} que lo dividen en un bloque de tamaño 2 y un bloque de tamaño 1, y hay una partición de {1, 2, 3} que la divide en tres bloques de tamaño 1.
- Si b n = 2 n ( n −1) / 2 es el número de gráficos cuyos vértices son un conjunto dado de n puntos, entonces a n es el número de gráficos conectados cuyos vértices son un conjunto dado de n puntos.
- Existen numerosas variaciones del ejemplo anterior donde el gráfico tiene ciertas propiedades: por ejemplo, si b n cuenta gráficos sin ciclos, entonces a n cuenta árboles (gráficos conectados sin ciclos).
- Si b n cuenta gráficos dirigidos cuyas aristas (en lugar de vértices) son un conjunto dado de n puntos, entonces a n cuenta gráficos dirigidos conectados con esta arista s
Aplicaciones
En las aplicaciones, los números de un n menudo cuentan el número de algún tipo de estructura "conectado" en una n conjunto -point, y los números b n cuentan el número de estructuras (posiblemente desconectado). ¡Los números b n / n ! cuente el número de clases de isomorfismo de estructuras en n puntos, con cada estructura ponderada por el recíproco de su grupo de automorfismo, y los números a n / n ! contar las clases de isomorfismo de estructuras conectadas de la misma manera.
En la teoría cuántica de campos y la mecánica estadística, las funciones de partición Z , o más generalmente las funciones de correlación , vienen dadas por una suma formal sobre los diagramas de Feynman . La fórmula exponencial muestra que log ( Z ) se puede escribir como una suma sobre diagramas de Feynman conectados, en términos de funciones de correlación conectadas .
Referencias
- Stanley, Richard P. (1999), Combinatoria enumerativa. Vol. 2 , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 62 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56069-6, Señor 1676282 , ISBN 978-0-521-78987-5 Capítulo 5