En teoría de números y geometría algebraica , una curva modular Y (Γ) es una superficie de Riemann , o la curva algebraica correspondiente , construida como un cociente del semiplano superior complejo H por la acción de un subgrupo de congruencia Γ del grupo modular de matrices integrales de 2×2 SL(2, Z ). El término curva modular también se puede usar para referirse a las curvas modulares compactadas X (Γ) que son compactaciones obtenidas al agregar un número finito de puntos (llamadas las cúspides de Γ) a este cociente (a través de una acción en el semiplano superior complejo extendido ). Los puntos de una curva modular parametrizan clases de isomorfismo de curvas elípticas , junto con alguna estructura adicional dependiendo del grupo Γ. Esta interpretación permite dar una definición puramente algebraica de las curvas modulares, sin referencia a los números complejos y, además, probar que las curvas modulares se definen sobre el campo de los números racionales Q o sobre un campo ciclotómico Q (ζ n ). Este último hecho y sus generalizaciones son de fundamental importancia en la teoría de números.
El grupo modular SL(2, Z ) actúa sobre el semiplano superior mediante transformaciones lineales fraccionarias . La definición analítica de una curva modular implica la elección de un subgrupo de congruencia Γ de SL(2, Z ), es decir, un subgrupo que contiene el subgrupo de congruencia principal de nivel N Γ( N ), para algún número entero positivo N , donde
El mínimo tal N se llama el nivel de Γ . Se puede poner una estructura compleja en el cociente Γ\ H para obtener una superficie de Riemann no compacta comúnmente denotada como Y (Γ).
Una compactación común de Y (Γ) se obtiene sumando un número finito de puntos llamados vértices de Γ. Específicamente, esto se hace considerando la acción de Γ en el semiplano superior complejo extendido H * = H ∪ Q ∪ {∞ }. Introducimos una topología sobre H * tomando como base:
Esto convierte a H * en un espacio topológico que es un subconjunto de la esfera de Riemann P 1 ( C ). El grupo Γ actúa sobre el subconjunto Q ∪ {∞ }, dividiéndolo en un número finito de órbitas llamadas cúspides de Γ . Si Γ actúa transitivamente sobre Q ∪ {∞ }, el espacio Γ\ H * se convierte en la compactación de Alexandroff de Γ\ H . Una vez más, se puede poner una estructura compleja en el cociente Γ\ H * convirtiéndolo en una superficie de Riemann denotada X (Γ) que ahora es compacta . Este espacio es una compactación deY (Γ). [1]
Los ejemplos más comunes son las curvas X ( N ), X 0 ( N ) y X 1 ( N ) asociadas a los subgrupos Γ( N ), Γ 0 ( N ) y Γ 1 ( N ).