En matemáticas , un subgrupo de congruencia de un grupo de matriz con entradas enteras es un subgrupo definido por condiciones de congruencia en las entradas. Un ejemplo muy simple serían las matrices enteras 2 × 2 invertibles del determinante 1, en las que las entradas fuera de la diagonal son pares . De manera más general, la noción de subgrupo de congruencia se puede definir para subgrupos aritméticos de grupos algebraicos ; es decir, aquellos para los que tenemos una noción de 'estructura integral' y podemos definir mapas de reducción módulo un entero.
La existencia de subgrupos de congruencia en un grupo aritmético le proporciona una gran cantidad de subgrupos, en particular muestra que el grupo es residualmente finito . Una cuestión importante con respecto a la estructura algebraica de los grupos aritméticos es el problema de subgrupos de congruencia , que pregunta si todos los subgrupos de índice finito son esencialmente subgrupos de congruencia.
Los subgrupos de congruencia de matrices 2 × 2 son objetos fundamentales en la teoría clásica de formas modulares ; la teoría moderna de formas automórficas hace un uso similar de subgrupos de congruencia en grupos aritméticos más generales.
Subgrupos de congruencia del grupo modular
El escenario más simple e interesante en el que se pueden estudiar los subgrupos de congruencia es el del grupo modular . [1]
Subgrupos de congruencia principales
Si es un entero hay un homomorfismo inducida por el módulo de reducción morfismo . El principal subgrupo de congruencia de nivel en es el núcleo de , y generalmente se denota . Explícitamente se describe de la siguiente manera:
Esta definición implica inmediatamente que es un subgrupo normal de índice finito en. El teorema de aproximación fuerte (en este caso una consecuencia fácil del teorema del resto chino ) implica que es sobreyectiva, de modo que el cociente es isomorfo a Al calcular el orden de este grupo finito se obtiene la siguiente fórmula para el índice:
donde el producto se toma sobre todos los números primos dividiendo .
Si entonces la restricción de a cualquier subgrupo finito de es inyectable. Esto implica el siguiente resultado:
- Si luego los principales subgrupos de congruencia son libres de torsión.
El grupo contiene y no está libre de torsión. Por otro lado, su imagen enestá libre de torsión, y el cociente del plano hiperbólico por este subgrupo es una esfera con tres cúspides.
Definición de un subgrupo de congruencia
Si es un subgrupo en entonces se llama subgrupo de congruencia si existe tal que contiene el subgrupo de congruencia principal . El nivel de es entonces el más pequeño de tales .
De esta definición se deduce que:
- Los subgrupos de congruencia son de índice finito en ;
- Los subgrupos de congruencia de nivel están en correspondencia uno a uno con los subgrupos de
Ejemplos de
Los subgrupos , a veces llamado el subgrupo de congruencia de Hecke de nivel, se define como la preimagen por del grupo de matrices triangulares superiores. Es decir,
El índice viene dado por la fórmula:
donde el producto se toma sobre todos los números primos dividiendo . Si es primo entonces está en biyección natural con la línea proyectiva sobre el campo finito, y representantes explícitos para las clases laterales (izquierda o derecha) de en son las siguientes matrices:
Los subgrupos nunca están libres de torsión ya que siempre contienen la matriz . Hay infinitamente muchos tal que la imagen de en también contiene elementos de torsión.
Los subgrupos son la preimagen del subgrupo de matrices unipotentes:
Están libres de torsión tan pronto como , y sus índices vienen dados por la fórmula:
El subgrupo theta es el subgrupo de congruencia de definida como la preimagen del grupo cíclico de orden dos generada por . Es de índice 3 y se describe explícitamente por: [2]
Estos subgrupos satisfacen las siguientes inclusiones: , así como
Propiedades de los subgrupos de congruencia
Los subgrupos de congruencia del grupo modular y las superficies de Riemann asociadas se distinguen por algunas propiedades geométricas y topológicas particularmente agradables. He aquí una muestra:
- Hay sólo un número finito de coberturas de congruencia de la superficie modular que tienen género cero; [3]
- ( Teorema de Selberg 3/16 ) Sies una función propia no constante del operador de Laplace-Beltrami en una cobertura de congruencia de la superficie modular con el valor propio luego
También hay una colección de operadores distinguidos llamados operadores Hecke en funciones suaves en coberturas de congruencia, que se conmutan entre sí y con el operador Laplace-Beltrami y son diagonalizables en cada espacio propio de este último. Sus funciones propias comunes son un ejemplo fundamental de formas automórficas . Otras formas automórficas asociadas a estos subgrupos de congruencia son las formas modulares holomórficas, que pueden interpretarse como clases de cohomología en las superficies de Riemann asociadas a través del isomorfismo de Eichler-Shimura .
Normalizadores de subgrupos de congruencia de Hecke
El normalizador de en ha sido investigado; Un resultado de la década de 1970, debido a Jean-Pierre Serre , Andrew Ogg y John G. Thompson, es que la curva modular correspondiente (la superficie de Riemann resultante de tomar el cociente del plano hiperbólico por) tiene género cero (es decir, la curva modular es una esfera de Riemann) si y solo si p es 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, o 71. Cuando Ogg se enteró más tarde del grupo de monstruos , se dio cuenta de que estos eran precisamente los factores primos del tamaño de M , escribió un periódico ofreciendo una botella de whisky Jack Daniel's a cualquiera que pudiera explicar este hecho; esto fue un comienzo. punto para la teoría de Monstrous Moonshine , que explica las profundas conexiones entre la teoría de la función modular y el grupo de monstruos.
En grupos aritméticos
Grupos aritméticos
La noción de grupo aritmético es una vasta generalización basada en el ejemplo fundamental de . En general, para dar una definición se necesita un grupo algebraico semisimple definido sobre y una fiel representación , también definido sobre de dentro ; luego un grupo aritmético en es cualquier grupo que es de índice finito en el estabilizador de una subrejilla de índice finito en .
Subgrupos de congruencia
Dejar ser un grupo aritmético: por simplicidad es mejor suponer que . Como en el caso de hay morfismos de reducción . Podemos definir un subgrupo de congruencia principal de ser el núcleo de (que puede depender a priori de la representación ), y un subgrupo de congruencia deser cualquier subgrupo que contenga un subgrupo de congruencia principal (una noción que no depende de una representación). Son subgrupos de índice finito que corresponden a los subgrupos de los grupos finitos, y el nivel está definido.
Ejemplos de
Los principales subgrupos de congruencia de son los subgrupos dada por:
los subgrupos de congruencia corresponden a los subgrupos de .
Otro ejemplo de grupo aritmético lo dan los grupos dónde es el anillo de números enteros en un campo numérico , por ejemplo. Entonces síes un ideal primo dividiendo un primo racional los subgrupos que es el núcleo del mod de mapa de reducción es un subgrupo de congruencia ya que contiene el subgrupo de congruencia principal definido por módulo de reducción .
Otro grupo aritmético más son los grupos modulares Siegel definido por:
Tenga en cuenta que si luego El subgrupo theta de es el conjunto de todos tal que ambos y tener incluso entradas diagonales. [4]
Propiedad (τ)
La familia de subgrupos de congruencia en un grupo aritmético dado siempre tiene propiedad (τ) de Lubotzky – Zimmer. [5] Esto puede interpretarse en el sentido de que la constante de Cheeger de la familia de sus gráficos de clases laterales de Schreier (con respecto a un grupo electrógeno fijo para) está delimitado uniformemente desde cero, en otras palabras, son una familia de gráficos expansores . También hay una interpretación teórica de la representación: sies una celosía en un grupo de Lie G, entonces la propiedad (τ) es equivalente a las representaciones unitarias no triviales de G que ocurren en los espaciosestando delimitado lejos de la representación trivial (en la topología de Fell en el dual unitario de G ). La propiedad (τ) es un debilitamiento de la propiedad (T) de Kazhdan, lo que implica que la familia de todos los subgrupos de índices finitos tiene la propiedad (τ).
En grupos S -aritméticos
Si es un -grupo y es un conjunto finito de números primos, un -subgrupo aritmético de se define como un subgrupo aritmético pero usando en vez de El ejemplo fundamental es .
Dejar frijol -grupo aritmético en un grupo algebraico . Si es un número entero no divisible por ningún primo en , entonces todos los números primos son modulo invertible y se sigue que hay un morfismo Por tanto, es posible definir subgrupos de congruencia en , cuyo nivel es siempre coprime a todos los primos en .
El problema del subgrupo de congruencia
Subgrupos de índice finito en SL 2 (Z)
Subgrupos de congruencia en son subgrupos de índice finito: es natural preguntarse si dan cuenta de todos los subgrupos de índice finito en . La respuesta es un rotundo "no". Este hecho ya lo conocía Felix Klein y hay muchas formas de exhibir muchos subgrupos de índice finito no congruentes. Por ejemplo:
- El grupo simple en la serie de composición de un cociente, dónde es un subgrupo de congruencia normal, debe ser un grupo simple de tipo Lie (o cíclico), de hecho uno de los grupos por un mejor . Pero por cada hay subgrupos de índice finito tal que es isomorfo al grupo alterno (por ejemplo sobreyecciones en cualquier grupo con dos generadores, en particular en todos los grupos alternos, y los núcleos de estos morfismos dan un ejemplo). Por tanto, estos grupos deben ser no congruentes.
- Hay una sobreyeccion ; por lo suficientemente grande como el núcleo de debe ser no congruente (una forma de ver esto es que la constante de Cheeger del gráfico de Schreier va a 0; también hay una prueba algebraica simple en el espíritu del ítem anterior).
- El número de subgrupos de congruencia en de índice satisface . Por otro lado, el número de subgrupos de índice finito de índice en satisface , por lo que la mayoría de los subgrupos de índice finito deben ser no congruentes. [6]
El núcleo de la congruencia
Se puede hacer la misma pregunta para cualquier grupo aritmético que para el grupo modular:
- Problema ingenuo de subgrupos de congruencia: Dado un grupo aritmético, ¿son todos sus subgrupos de índice finito subgrupos de congruencia?
Este problema puede tener una solución positiva: su origen está en el trabajo de Hyman Bass , Jean-Pierre Serre y John Milnor , y Jens Mennicke quienes demostraron que, a diferencia del caso de, Cuándo todos los subgrupos de índice finito en son subgrupos de congruencia. La solución por Bass-Milnor-Serre involucrado un aspecto de la teoría de números algebraica vinculado a K-teoría . [7] Por otro lado, el trabajo de Serre sobresobre los campos numéricos muestra que en algunos casos la respuesta a la pregunta ingenua es "no", mientras que una ligera relajación del problema tiene una respuesta positiva. [8]
Este nuevo problema se plantea mejor en términos de ciertos grupos topológicos compactos asociados a un grupo aritmético. . Hay una topología enpara lo cual una base de vecindades del subgrupo trivial es el conjunto de subgrupos de índice finito (la topología profinita ); y hay otra topología definida de la misma manera usando solo subgrupos de congruencia. La topología profinita da lugar a una terminación de , mientras que la topología de "congruencia" da lugar a otra compleción . Ambos son grupos profinitos y hay un morfismo sobreyectivo natural.(intuitivamente, hay menos condiciones para que una secuencia de Cauchy cumpla en la topología de congruencia que en la topología profinita). [9] [10] El núcleo de la congruencia es el núcleo de este morfismo, y el problema del subgrupo de congruencia mencionado anteriormente equivale a si es trivial. El debilitamiento de la conclusión conduce al siguiente problema.
- Problema de subgrupo de congruencia: ¿es el núcleo de congruencia ¿finito?
Cuando el problema tiene una solución positiva, se dice que tiene la propiedad de subgrupo de congruencia . Una conjetura generalmente atribuida a Serre establece que una celosía aritmética irreducible en un grupo de Lie semisimpletiene la propiedad de subgrupo de congruencia si y solo si el rango real dees al menos 2; por ejemplo, celosías en Siempre debe tener la propiedad.
Soluciones negativas
La conjetura de Serre establece que un enrejado en un grupo de Lie de rango uno no debería tener la propiedad de subgrupo de congruencia. Hay tres familias de tales grupos: los grupos ortogonales , los grupos unitarios y los grupos (los grupos de isometría de una forma sesquilínea sobre los cuaterniones de Hamilton), más el grupo excepcional(ver Lista de grupos de Lie simples ). El estado actual del problema del subgrupo de congruencia es el siguiente:
- Se sabe que tiene una solución negativa (confirmando la conjetura) para todos los grupos. con . La prueba usa el mismo argumento que 2. en el caso de: en el caso general es mucho más difícil construir una sobreyección a la prueba no es del todo uniforme para todos los casos y falla para algunas celosías en la dimensión 7 debido al fenómeno de la trialidad . [11] [12] En las dimensiones 2 y 3 y para algunas celosías en dimensiones superiores también se aplican los argumentos 1 y 3.
- Es conocido por muchas celosías en , pero no todos (nuevamente usando una generalización del argumento 2). [13]
- Está completamente abierto en todos los casos restantes.
Soluciones positivas
En muchas situaciones en las que se espera que el problema del subgrupo de congruencia tenga una solución positiva, se ha demostrado que este es el caso. Aquí hay una lista de grupos algebraicos de manera que se sabe que la propiedad del subgrupo de congruencia se cumple para las redes aritméticas asociadas, en caso de que el rango del grupo de Lie asociado (o más generalmente la suma del rango de los factores reales y p-ádicos en el caso de los grupos aritméticos S) es al menos 2: [14]
- Cualquier grupo no anisotrópico (esto incluye los casos tratados por Bass-Milnor-Serre, así como es , y muchos otros);
- Cualquier grupo de tipo no (por ejemplo, todas las formas anisotrópicas de grupos simplécticos u ortogonales de rango real );
- Formas externas de tipo, por ejemplo, grupos unitarios.
El caso de las formas internas de tipo todavía está abierto. Los grupos algebraicos involucrados son los asociados a los grupos unitarios en álgebras centrales de división simple; por ejemplo, no se sabe que la propiedad del subgrupo de congruencia sea válida para las celosías en o con cociente compacto. [15]
Grupos de congruencia y grupos de adèle
El anillo de Adeles es el producto restringido de todas las terminaciones de es decir
donde el producto está sobre todos los primos y es el campo de los números p-ádicos . Dado cualquier grupo algebraico encima el grupo algebraico adelico está bien definido. Puede estar dotado de una topología canónica, que en el caso donde es un grupo algebraico lineal es la topología como un subconjunto de . Las Adelas finitasson el producto restringido de todas las terminaciones no arquimedianas (todos los campos p-ádicos).
Si es un grupo aritmético, entonces sus subgrupos de congruencia se caracterizan por la siguiente propiedad: es un subgrupo de congruencia si y solo si su cierre es un subgrupo compacto-abierto (la compacidad es automática) y . En general el grupo es igual al cierre de congruencia de en y la topología de congruencia en es la topología inducida como un subgrupo de , en particular la finalización de la congruencia es su cierre en ese grupo. Estas observaciones también son válidas para subgrupos de aritmética S, reemplazando el anillo de adèles finitos con el producto restringido sobre todos los primos que no estén en S.
De manera más general, se puede definir lo que significa para un subgrupo ser un subgrupo de congruencia sin referencia explícita a un subgrupo aritmético fijo, pidiendo que sea igual a su cierre de congruencia Por lo tanto, es posible estudiar todos los subgrupos de congruencia a la vez al observar el subgrupo discreto Esto es especialmente conveniente en la teoría de formas automórficas: por ejemplo, todos los tratamientos modernos de la fórmula de trazas de Arthur-Selberg se realizan en este entorno adélico.
Notas
- ^ El grupo modular generalmente se define como el cociente aquí preferiremos usar para simplificar las cosas, pero la teoría es casi la misma.
- ^ Eichler, Martin (1966). Introducción a la Teoría de Números y Funciones Algebraicas . Prensa académica. págs. 36 –39.
- ^ Long, Darren D .; Maclachlan, Colin; Reid, Alan (2006). "Grupos aritméticos fucsianos de género cero" . Matemáticas puras y aplicadas trimestralmente 2 . Número especial para celebrar el 60 cumpleaños del profesor JH Coates (2): 569–599. doi : 10.4310 / PAMQ.2006.v2.n2.a9 .
- ^ Richter, Olav (2000). "Funciones theta de formas cuadráticas indefinidas sobre campos de números reales" . Actas de la American Mathematical Society . 128 (3): 701–708. doi : 10.1090 / s0002-9939-99-05619-1 .
- ^ Clozel, Laurent (2003). "Demostración de la Conjetura τ". Inventar. Matemáticas. (en francés). 151 (2): 297–328. doi : 10.1007 / s00222-002-0253-8 . S2CID 124409226 .
- ^ Lubotzky y Segal 2003 , capítulos 6-7.
- ^ Bass, H .; Milnor, John Willard ; Serre, Jean-Pierre (1967), "Solución del problema del subgrupo de congruencia para SL n ( n ≥3) y Sp 2n ( n ≥2)" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 33 (33): 59-137, doi : 10.1007 / BF02684586 , ISSN 1618-1913 , MR 0.244.257 , S2CID 123107965( Errata )
- ^ Serre, Jean-Pierre (1970). "Le problème des sous-groupes de congruence pour SL 2 ". Annals of Mathematics . Segunda Serie (en francés). 92 : 489–527. doi : 10.2307 / 1970630 . JSTOR 1970630 .
- ^ Platonov y Rapinchuk 1994 , Proposición 9.10.
- ^ Sury 2003 , sección 3.7.
- ^ Lubotzky y Segal 2003 , Teorema 7.2.
- ^ Agol, Ian (2013). "La conjetura de Virtual Haken". Documenta Math . 18 : 1045–1087.
- ^ Kazhdan, David (1977). "Algunas aplicaciones de la representación de Weil". J. Analizar Mat . 32 : 235–248. doi : 10.1007 / bf02803582 . S2CID 119982784 .
- ^ Platonov y Rapinchuk 1994 , p. 568.
- ^ Raghunatan, MS (2004). "El problema del subgrupo de congruencia". Proc. Indian Acad. Sci. (Matemáticas. Sci.) . 114 (4): 299-308. doi : 10.1007 / BF02829437 . S2CID 18414386 .
Referencias
- Lubotzky, Alexander; Segal, Dan (2003). Crecimiento de subgrupos . Birkhäuser. ISBN 3-7643-6989-2.
- Platonov, Vladimir ; Rapinchuk, Andrei (1994). Grupos algebraicos y teoría de números. (Traducido del original ruso de 1991 por Rachel Rowen) . Matemática pura y aplicada. 139 . Boston, MA: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-558180-7. Señor 1278263 .
- Sury, B. (2003). El problema del subgrupo de congruencia . Agencia de libros Hindustan. ISBN 81-85931-38-0.