Método FOIL

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Mnemónico para encontrar el producto de dos funciones binomiales

Este artículo trata sobre un mnemónico. Para otros tipos de láminas, consulte Lámina (desambiguación) .

Una representación visual de la regla FOIL. Cada línea de color representa dos términos que deben multiplicarse.

En álgebra elemental , FOIL es un mnemónico para el método estándar de multiplicar dos binomios ^{[1], por} lo que el método puede denominarse método FOIL . La palabra FOIL es un acrónimo de los cuatro términos del producto:

• F rimero (términos "primero" de cada binomial se multiplican entre sí)
• O útero (los términos "externos" se multiplican, es decir, el primer término del primer binomio y el segundo término del segundo)
• I nner (términos "dentro" se multiplican-segundo término del primer término binomial y primera de la segunda)
• L ast ( "último" términos de cada binomio se multiplican)

La forma general es

${\displaystyle (a+b)(c+d)=\underbrace {ac} _{\text{first}}+\underbrace {ad} _{\text{outside}}+\underbrace {bc} _{\text{inside}}+\underbrace {bd} _{\text{last}}.}$

Tenga en cuenta que a es tanto un término "primer" como un término "externo"; b es un término tanto "último" como "interno", y así sucesivamente. El orden de los cuatro términos en la suma no es importante y no es necesario que coincida con el orden de las letras en la palabra FOIL.

Historia

El método FOIL es un caso especial de un método más general para multiplicar expresiones algebraicas usando la ley distributiva . La palabra FOIL fue originalmente pensada únicamente como mnemotécnica para estudiantes de secundaria que aprenden álgebra. El término aparece en el texto Álgebra para hoy de William Betz de 1929 , donde afirma: ^[2]

... primeros términos, términos externos, términos internos, últimos términos. (La regla mencionada anteriormente también se puede recordar por la palabra FOIL, sugerida por las primeras letras de las palabras primero, exterior, interior, último).

William Betz participó activamente en el movimiento de reforma de las matemáticas en los Estados Unidos en ese momento, había escrito muchos textos sobre temas de matemáticas elementales y había "dedicado su vida a la mejora de la educación matemática". ^[3]

Muchos estudiantes y educadores en los Estados Unidos ahora usan la palabra "FOIL" como un verbo que significa "expandir el producto de dos binomios". ^[4]

Ejemplos de

El método se usa más comúnmente para multiplicar binomios lineales . Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+3)(x+5)&=x\cdot x+x\cdot 5+3\cdot x+3\cdot 5\\&=x^{2}+5x+3x+15\\&=x^{2}+8x+15.\end{aligned}}}$

Si alguno de los binomios implica una resta , se deben negar los términos correspondientes. Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}(2x-3)(3x-4)&=(2x)(3x)+(2x)(-4)+(-3)(3x)+(-3)(-4)\\&=6x^{2}-8x-9x+12\\&=6x^{2}-17x+12.\end{aligned}}}$

La ley distributiva

El método FOIL es equivalente a un proceso de dos pasos que involucra la ley distributiva : ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)(c+d)&=a(c+d)+b(c+d)\\&=ac+ad+bc+bd.\end{aligned}}}$

En el primer paso, la ( c + d ) se distribuye sobre la suma en el primer binomio. En el segundo paso, se usa la ley distributiva para simplificar cada uno de los dos términos. Tenga en cuenta que este proceso implica un total de tres aplicaciones de la propiedad distributiva. A diferencia del método FOIL, el método que utiliza distributivo se puede aplicar fácilmente a productos con más términos como trinomios y superiores.

Lámina inversa

La regla FOIL convierte un producto de dos binomios en una suma de cuatro (o menos, si luego se combinan términos semejantes ) monomios . ^[6] El proceso inverso se llama factorización o factorización . En particular, si la prueba anterior se lee al revés, ilustra la técnica llamada factorización por agrupación .

Mesa como alternativa a FOIL

Una herramienta de memoria visual puede reemplazar el mnemónico FOIL para un par de polinomios con cualquier número de términos. Haga una tabla con los términos del primer polinomio en el borde izquierdo y los términos del segundo en el borde superior, luego complete la tabla con productos . La tabla equivalente a la regla FOIL se ve así:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &c&d\\\hline a&ac&ad\\b&bc&bd\end{array}}}$

En el caso de que sean polinomios, ( ax + b ) ( cx + d ) , los términos de un grado dado se encuentran sumando a lo largo de los antidiagonales

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &cx&d\\\hline ax&acx^{2}&adx\\b&bcx&bd\end{array}}}$

asi que ${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}$

Para multiplicar ( a + b + c ) ( w + x + y + z ) , la tabla sería la siguiente:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &w&x&y&z\\\hline a&aw&ax&ay&az\\b&bw&bx&by&bz\\c&cw&cx&cy&cz\end{array}}}$

La suma de las entradas de la tabla es el producto de los polinomios. Por lo tanto

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)(w+x+y+z)&=(aw+ax+ay+az)\\&+(bw+bx+by+bz)\\&+(cw+cx+cy+cz).\end{aligned}}}$

De manera similar, para multiplicar ( ax ² + bx + c ) ( dx ³ + ex ² + fx + g ) , se escribe la misma tabla

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &d&e&f&g\\\hline a&ad&ae&af&ag\\b&bd&be&bf&bg\\c&cd&ce&cf&cg\end{array}}}$

y sumas a lo largo de antidiagonales:

${\displaystyle {\begin{aligned}(ax^{2}&+bx+c)(dx^{3}+ex^{2}+fx+g)\\&=adx^{5}+(ae+bd)x^{4}+(af+be+cd)x^{3}+(ag+bf+ce)x^{2}+(bg+cf)x+cg.\end{aligned}}}$

Generalizaciones

La regla FOIL no se puede aplicar directamente a productos en expansión con más de dos multiplicandos o multiplicandos con más de dos sumandos. Sin embargo, la aplicación de la ley asociativa y el frustrado recursivo permite expandir dichos productos. Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=((a+b)+(c+d))((x+y)+(z+w))\\&=(a+b)(x+y)+(a+b)(z+w)\\&+(c+d)(x+y)+(c+d)(z+w)\\&=ax+ay+bx+by+az+aw+bz+bw\\&+cx+cy+dx+dy+cz+cw+dz+dw.\end{aligned}}}$

Los métodos alternativos basados ​​en la distribución renuncian al uso de la regla FOIL, pero pueden ser más fáciles de recordar y aplicar. Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=(a+(b+c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+(c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +(c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +c(x+y+z+w)+d(x+y+z+w)\\&=ax+ay+az+aw+bx+by+bz+bw\\&\qquad +cx+cy+cz+cw+dx+dy+dz+dw.\end{aligned}}}$

Ver también

• Teorema binomial
• Factorización

Referencias

1. "Simplificar usando las lecciones del método FOIL" . Consultado el 10 de mayo de 2018 .
2. Betz, William (1929), Álgebra para hoy (vol. 1) , Ginn and Company, p. 291.
3. WDR (noviembre de 1937), "Revisión de álgebra para hoy: primer año", El profesor de matemáticas , Consejo nacional para la enseñanza de las matemáticas, 30 (7): 348.
4. McCrea, Emma (1 de mayo de 2019). Hacer que cada lección de matemáticas cuente: Seis principios para respaldar una excelente enseñanza de matemáticas (serie Hacer que cada lección cuente) . Crown House Publishing Ltd. ISBN 978-1-78583-421-9.
5. Khare, Apoorva; Lachowska, Anna (2015). Hermoso, simple, exacto, loco: Matemáticas en el mundo real . Prensa de la Universidad de Yale. pag. 3. ISBN 978-0-300-19089-2. A esto a veces se le llama el método "FOIL" - esencialmente, es simplemente la ley distributiva aplicada dos veces.
6. Kirkland, Carla C .; Cleveland, Chan (29 de enero de 2020). Praxis Core para principiantes con pruebas de práctica en línea . John Wiley e hijos. pag. 78. ISBN 978-1-119-62047-1. ... FOIL inverso puede llevarlo en la dirección opuesta de una expresión a expresiones de dos términos multiplicadas entre sí. Es una forma de factorización.

Otras lecturas

• Steege, Ray; Bailey, Kerry (1997). Esquema de la teoría y problemas de álgebra intermedia de Schaum . Serie de esquemas de Schaum. Nueva York: McGraw – Hill. ISBN 978-0-07-060839-9.