Fórmula de Faà di Bruno
La fórmula de Faà di Bruno es una identidad en matemáticas que generaliza la regla de la cadena a derivadas superiores. Lleva el nombre de Francesco Faà di Bruno ( 1855 , 1857 ), aunque no fue el primero en afirmar o probar la fórmula. En 1800, más de 50 años antes de Faà di Bruno, el matemático francés Louis François Antoine Arbogast había declarado la fórmula en un libro de texto de cálculo, [1] que se considera la primera referencia publicada sobre el tema. [2]
A veces, para darle un patrón memorable, se escribe de manera que los coeficientes que tienen la interpretación combinatoria que se analiza a continuación son menos explícitos:
Combinando los términos con el mismo valor de m 1 + m 2 + ... + m n = k y notando que m j tiene que ser cero para j > n − k + 1 conduce a una fórmula algo más simple expresada en términos de Bell polinomios B n , k ( x 1 ,..., x n − k +1 ):
El factor corresponde a la partición 2 + 1 + 1 del entero 4, de forma obvia. El factor que lo acompaña corresponde al hecho de que hay tres sumandos en esa partición. El coeficiente 6 que va con esos factores corresponde al hecho de que hay exactamente seis particiones de un conjunto de cuatro miembros que lo descomponen en una parte de tamaño 2 y dos partes de tamaño 1.
De manera similar, el factor en la tercera línea corresponde a la partición 2 + 2 del entero 4, (4, porque estamos encontrando la cuarta derivada), mientras que corresponde al hecho de que hay dos sumandos (2 + 2) en esa partición . El coeficiente 3 corresponde al hecho de que hay formas de dividir 4 objetos en grupos de 2. El mismo concepto se aplica a los demás.
Estos coeficientes de Faà di Bruno que cuentan particiones tienen una expresión de "forma cerrada". El número de particiones de un conjunto de tamaño n correspondiente a la partición entera