Los polinomios de Bell exponenciales parciales o incompletos son una matriz triangular de polinomios dada por
donde la suma se toma sobre todas las secuencias j 1 , j 2 , j 3 , ..., j n - k +1 de enteros no negativos de modo que se satisfagan estas dos condiciones:
La suma
se llama n- ésimo polinomio de Bell exponencial completo .
Polinomios de Bell ordinarios
Asimismo, el polinomio de Bell ordinario parcial , en contraste con el polinomio de Bell exponencial habitual definido anteriormente, está dado por
donde la suma corre sobre todas las secuencias j 1 , j 2 , j 3 , ..., j n - k +1 de enteros no negativos tales que
Los polinomios de Bell ordinarios se pueden expresar en términos de polinomios de Bell exponenciales:
En general, el polinomio de Bell se refiere al polinomio de Bell exponencial, a menos que se indique explícitamente lo contrario.
Significado combinatorio
El polinomio de Bell exponencial codifica la información relacionada con las formas en que se puede dividir un conjunto. Por ejemplo, si consideramos un conjunto {A, B, C}, se puede dividir en dos subconjuntos no vacíos ni superpuestos, que también se denominan partes o bloques, de 3 formas diferentes:
{{A B C}}
{{B}, {A, C}}
{{C}, {B, A}}
Por lo tanto, podemos codificar la información relativa a estas particiones como
Aquí, los subíndices de B 3,2 nos dicen que estamos considerando la partición de un conjunto con 3 elementos en 2 bloques. El subíndice de cada x i indica la presencia de un bloque con i elementos (o bloque de tamaño i ) en una partición determinada. Entonces, aquí, x 2 indica la presencia de un bloque con dos elementos. De manera similar, x 1 indica la presencia de un bloque con un solo elemento. El exponente de x i j indica que hay j bloques de tamaño i en una sola partición. Aquí, dado que tanto x 1 como x 2 tienen exponente 1, indica que solo hay uno de esos bloques en una partición determinada. El coeficiente del monomio indica cuántas particiones de este tipo hay. Para nuestro caso, hay 3 particiones de un conjunto con 3 elementos en 2 bloques, donde en cada partición los elementos se dividen en dos bloques de tamaños 1 y 2.
Dado que cualquier conjunto se puede dividir en un solo bloque de una sola manera, la interpretación anterior significaría que B n , 1 = x n . De manera similar, dado que solo hay una forma de dividir un conjunto con n elementos en n singletons, B n , n = x 1 n .
Como ejemplo más complicado, considere
Esto nos dice que si un conjunto con 6 elementos se divide en 2 bloques, entonces podemos tener 6 particiones con bloques de tamaño 1 y 5, 15 particiones con bloques de tamaño 4 y 2 y 10 particiones con 2 bloques de tamaño 3.
La suma de los subíndices en un monomio es igual al número total de elementos. Por lo tanto, el número de monomios que aparecen en el polinomio de Bell parcial es igual al número de formas en que el número entero n se puede expresar como una suma de k números enteros positivos. Esto es lo mismo que la partición entera de n en k partes. Por ejemplo, en los ejemplos anteriores, el número entero 3 se puede dividir en dos partes como 2 + 1 solamente. Por tanto, sólo hay un monomio en B 3,2 . Sin embargo, el número entero 6 se puede dividir en dos partes como 5 + 1, 4 + 2 y 3 + 3. Por tanto, hay tres monomios en B 6,2 . De hecho, los subíndices de las variables en un monomio son los mismos que los dados por la partición entera, lo que indica los tamaños de los diferentes bloques. Por tanto, el número total de monomios que aparecen en un polinomio de Bell completo B n es igual al número total de particiones enteras de n .
Además, el grado de cada monomio, que es la suma de los exponentes de cada variable en el monomio, es igual al número de bloques en los que se divide el conjunto. Es decir, j 1 + j 2 + ... = k . Por lo tanto, dado un polinomio de Bell completo B n , podemos separar el polinomio de Bell parcial B n, k recolectando todos esos monomios con grado k .
Finalmente, si ignoramos los tamaños de los bloques y ponemos todo x i = x , entonces la suma de los coeficientes del polinomio parcial de Bell B n , k dará el número total de formas en que un conjunto con n elementos puede dividirse en k bloques, que es lo mismo que los números de Stirling del segundo tipo . Además, la suma de todos los coeficientes del polinomio Bell completo B n nos dará el número total de formas en que un conjunto con n elementos puede dividirse en subconjuntos no superpuestos, que es lo mismo que el número de Bell.
En general, si el entero n se divide en una suma en la que "1" aparece j 1 veces, "2" aparece j 2 veces, y así sucesivamente, entonces el número de particiones de un conjunto de tamaño n que colapsan en esa partición. del número entero n cuando los miembros del conjunto se vuelven indistinguibles es el coeficiente correspondiente en el polinomio.
Ejemplos de
Por ejemplo, tenemos
porque hay
6 formas de dividir un conjunto de 6 como 5 + 1,
15 formas de dividir un conjunto de 6 como 4 + 2, y
10 formas de dividir un conjunto de 6 como 3 + 3.
Similar,
porque hay
15 formas de dividir un conjunto de 6 como 4 + 1 + 1,
60 formas de particionar un conjunto de 6 como 3 + 2 + 1, y
15 formas de dividir un conjunto de 6 como 2 + 2 + 2.
Propiedades
Función generadora
Los polinomios de Bell parciales exponenciales se pueden definir mediante la expansión en serie doble de su función generadora:
En otras palabras, por lo que equivale a lo mismo, por la expansión en serie de la k -ésima potencia:
El polinomio de Bell exponencial completo se define por , o en otras palabras:
Por lo tanto, el n -ésimo polinomio de Bell completo está dado por
Asimismo, el polinomio de Bell parcial ordinario se puede definir mediante la función generadora
O, de manera equivalente, por expansión en serie de la k -ésima potencia:
De manera similar, se puede establecer una versión en serie de potencias de la fórmula de Faà di Bruno utilizando polinomios de Bell de la siguiente manera. Suponer
Luego
En particular, los polinomios de Bell completos aparecen en la exponencial de una serie de potencias formales :
que también representa la función de generación exponencial de los polinomios de Bell completos en una secuencia fija de argumentos.
Reversión de serie
Dejemos que dos funciones f y g se expresen en series de potencias formales como
tal que g es la composición inversa de f definida por g ( f ( w )) = w o f ( g ( z )) = z . Si f 0 = 0 y f 1 ≠ 0, entonces se puede dar una forma explícita de los coeficientes de la inversa en términos de polinomios de Bell como [5]
con y es el factorial ascendente, y
Expansión asintótica de integrales tipo Laplace
Considere la integral de la forma
donde ( a , b ) es un intervalo real (finito o infinito), λ es un parámetro positivo grande y las funciones f y g son continuas. Sea f tener un único mínimo en [ a , b ] que ocurre en x = a . Suponga que cuando x → a + ,
con α > 0, Re ( β )> 0; y que la expansión de f puede diferenciarse en términos de términos. Entonces, el teorema de Laplace-Erdelyi establece que la expansión asintótica de la integral I ( λ ) está dada por
donde los coeficientes c n se pueden expresar en términos de a n y b n usando polinomios de Bell ordinarios parciales , como lo da la fórmula de Campbell-Froman-Walles-Wojdylo:
Estas fórmulas permiten expresar los coeficientes de polinomios monicos en términos de los polinomios de Bell de sus ceros. Por ejemplo, junto con el teorema de Cayley-Hamilton conducen a la expresión del determinante de una matriz A de n × n cuadrada en términos de las trazas de sus potencias:
Índice de ciclo de grupos simétricos
El índice de ciclo del grupo simétrico se puede expresar en términos de polinomios de Bell completos de la siguiente manera:
Momentos y acumulaciones
La suma
es el n- ésimo momento bruto de una distribución de probabilidad cuyos primeros n acumulados son κ 1 , ..., κ n . En otras palabras, el n- ésimo momento es el n- ésimo polinomio de Bell completo evaluado en los primeros n acumulados. Asimismo, el n º cumulante puede ser dado en términos de los momentos como
Polinomios de Hermite
Los polinomios de Hermite de los probabilistas se pueden expresar en términos de polinomios de Bell como
donde x i = 0 para todo i > 2; permitiendo así una interpretación combinatoria de los coeficientes de los polinomios de Hermite. Esto se puede ver comparando la función generadora de los polinomios de Hermite
con el de los polinomios de Bell.
Representación de secuencias polinomiales de tipo binomial
Para cualquier secuencia a 1 , a 2 ,…, a n de escalares, sea
Entonces esta secuencia polinomial es de tipo binomial , es decir, satisface la identidad binomial
Ejemplo: Para un 1 = ... = un n = 1, los polinomios representan polinomios de Touchard .
De manera más general, tenemos este resultado:
Teorema: Todas las secuencias polinómicas de tipo binomial son de esta forma.
Si definimos una serie de potencias formales
entonces para todos los n ,
Software
Los polinomios de campana se implementan en:
Mathematica como BellY
Maple como IncompleteBellB
SageMath como bell_polynomial
Ver también
Matriz de campana
Fórmula exponencial
Notas
^ Comtet 1974 .
^ Alexeev, Pologova y Alekseyev 2017 , secc. 4.2.
↑ Cvijović, 2011 .
^ Comtet 1974 , identidad [3l "] en la p. 136.
^ Charalambides 2002 , p. 437, ecuación (11,43).
Referencias
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