Método de Runge-Kutta-Fehlberg

En matemáticas , el método de Runge-Kutta-Fehlberg (o método de Fehlberg ) es un algoritmo de análisis numérico para la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias . Fue desarrollado por el matemático alemán Erwin Fehlberg y se basa en la gran clase de métodos de Runge-Kutta .

La novedad del método de Fehlberg es que es un método incrustado ^{[ definición necesaria ]} de la familia Runge-Kutta , lo que significa que se utilizan evaluaciones de funciones idénticas en conjunto para crear métodos de orden variable y constantes de error similares. El método presentado en el artículo de Fehlberg de 1969 se ha denominado método RKF45 y es un método de orden O ( h ⁴ ) con un estimador de error de orden O ( h ⁵ ). ^[1] Al realizar un cálculo adicional, el error en la solución se puede estimar y controlar mediante el método integrado de orden superior que permite un tamaño de paso adaptativo que se determinará automáticamente.

Cuadro de carnicero para el método 4 (5) de Fehlberg

Cualquier método Runge-Kutta se identifica de forma única por su cuadro Butcher . El par incrustado propuesto por Fehlberg ^[2]

0
1/4	1/4
3/8	3/32	9/32
13/12	1932/2197	−7200/2197	7296/2197
1	439/216	−8	3680/513	−845/4104
1/2	−8/27	2	−3544/2565	1859/4104	−11/40
	16/135	0	6656/12825	28561/56430	−9/50	2/55
	25/216	0	1408/2565	2197/4104	−1/5	0

La primera fila de coeficientes en la parte inferior de la tabla da el método exacto de quinto orden y la segunda fila da el método exacto de cuarto orden.

Esto muestra el tiempo computacional en tiempo real utilizado durante una simulación de 3 cuerpos evolucionada con el método de Runge-Kutta-Fehlberg. La mayor parte del tiempo de la computadora se gasta cuando los cuerpos pasan cerca y son susceptibles a errores numéricos .

Implementación de un algoritmo RK4 (5)

Los coeficientes encontrados por Fehlberg para la Fórmula 1 (derivación con su parámetro α2 = 1/3) se dan en la siguiente tabla, usando la indexación de matriz de base 1 en lugar de base 0 para ser compatible con la mayoría de los lenguajes de computadora:

COEFICIENTES PARA RK4 (5), FÓRMULA 1 Tabla II en Fehlberg ^[2]
K	ALASKA)	B (K, L)					C (K)	CH (K)	CT (K)
K	ALASKA)	L = 1	L = 2	L = 3	L = 4	L = 5	C (K)	CH (K)	CT (K)
1	0						1/9	47/450	-1/150
2	2/9	2/9					0	0	0
3	1/3	1/12	1/4				20/9	25/12	3/100
4	3/4	69/128	-243/128	135/64			16/45	32/225	-16/75
5	1	-17/12	27/4	-27/5	16/15		1/12	30/1	-1/20
6	5/6	65/432	-5/16	13/16	27/4	5/144		25/6	25/6

Fehlberg ^[2] describe una solución para resolver un sistema de n ecuaciones diferenciales de la forma:

${\operatorname {d} \!y_{i} \over \operatorname {d} \!x}=f_{i}(x,y_{1},y_{2},...,y_{n}),i=1,2,...,y_{n}$

para resolver iterativo para

$y_{i}(x+h),i=1,2,...,n$

donde h es un tamaño de paso adaptativo que se determinará algorítmicamente:

La solución es el promedio ponderado de seis incrementos, donde cada incremento es el producto del tamaño del intervalo , y una pendiente estimada especificada por la función f en el lado derecho de la ecuación diferencial. ${\textstyle h}$

$k_{1}=h\cdot f(x+A(1)\cdot h,y)$

$k_{2}=h\cdot f(x+A(2)\cdot h,y+B(2,1)\cdot k_{1})$

$k_{3}=h\cdot f(x+A(3)\cdot h,y+B(3,1)\cdot k_{1}+B(3,2)\cdot k_{2})$

$k_{4}=h\cdot f(x+A(4)\cdot h,y+B(4,1)\cdot k_{1}+B(4,2)\cdot k_{2}+B(4,3)\cdot k_{3})$

$k_{5}=h\cdot f(x+A(5)\cdot h,y+B(5,1)\cdot k_{1}+B(5,2)\cdot k_{2}+B(5,3)\cdot k_{3}+B(5,4)\cdot k_{4})$

$k_{6}=h\cdot f(x+A(6)\cdot h,y+B(6,1)\cdot k_{1}+B(6,2)\cdot k_{2}+B(6,3)\cdot k_{3}+B(6,4)\cdot k_{4}+B(6,5)\cdot k_{5})$

Entonces el promedio ponderado es:

$y(x+h)=y(x)+CH(1)\cdot k_{1}+CH(2)\cdot k_{2}+CH(3)\cdot k_{3}+CH(4)\cdot k_{4}+CH(5)\cdot k_{5}+CH(6)\cdot k_{6}$

La estimación del error de truncamiento es:

$TE=|CT(1)\cdot k_{1}+CT(2)\cdot k_{2}+CT(3)\cdot k_{3}+CT(4)\cdot k_{4}+CT(5)\cdot k_{5}+CT(6)\cdot k_{6}|$

Al finalizar el paso, se calcula un nuevo tamaño de paso:

$h_{new}=0.9\cdot h\cdot \left({\frac {\epsilon }{TE}}\right)^{1/5}$

Si , reemplácelo con y repita el paso. Si , entonces se completa el paso. Reemplace con para el siguiente paso. ${\textstyle TE>\epsilon }$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle h_{new}}$ ${\textstyle TE\leqslant \epsilon }$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle h_{new}}$

Los coeficientes encontrados por Fehlberg para la Fórmula 2 (derivación con su parámetro α2 = 3/8) se dan en la siguiente tabla, usando la indexación de matriz de base 1 en lugar de base 0 para ser compatible con la mayoría de los lenguajes de computadora:

COEFICIENTES PARA RK4 (5), FÓRMULA 2 Tabla III en Fehlberg ^[2]
K	ALASKA)	B (K, L)					C (K)	CH (K)	CT (K)
K	ALASKA)	L = 1	L = 2	L = 3	L = 4	L = 5	C (K)	CH (K)	CT (K)
1	0						25/216	16/135	1/360
2	1/4	1/4					0	0	0
3	3/8	3/32	9/32				1408/2565	6656/12825	-128/4275
4	13/12	1932/2197	-7200/2197	7296/2197			2197/4104	28561/56430	-2197/75240
5	1	439/216	-8	3680/513	-845/4104		-1/5	-9/50	1/50
6	1/2	-8/27	2	-3544/2565	1859/4104	-11/40		2/55	2/55

En otra tabla en Fehlberg, se dan ^[2] coeficientes para un RKF4 (5) derivado por D. Sarafyan:

COEFICIENTES PARA Sarafyan's RK4 (5), Cuadro IV en Fehlberg ^[2]
K	ALASKA)	B (K, L)					C (K)	CH (K)	CT (K)
K	ALASKA)	L = 1	L = 2	L = 3	L = 4	L = 5	C (K)	CH (K)	CT (K)
1	0	0					1/6	24/1	-1/8
2	1/2	1/2					0	0	0
3	1/2	1/4	1/4				2/3	0	-2/3
4	1	0	-1	2			1/6	5/48	-1/16
5	2/3	27/7	27/10	0	1/27			27/56	27/56
6	1/5	28/625	-1/5	546/625	54/625	-378/625		125/336	125/336

Ver también

Notas

^ Según Hairer et al. (1993, §II.4), el método fue propuesto originalmente en Fehlberg (1969); Fehlberg (1970) es un extracto de esta última publicación.
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Hairer, Nørsett & Wanner (1993 , p. 177) se refieren a Fehlberg (1969)

Referencias

Erwin Fehlberg (1968) Fórmulas clásicas de Runge-Jutta de quinto, sexto, séptimo y octavo orden con control de tamaño por pasos . Informe técnico de la NASA 287. https://ntrs.nasa.gov/api/citations/19680027281/downloads/19680027281.pdf
Erwin Fehlberg (1969) Fórmulas clásicas de Runge-Kutta de bajo orden con control de tamaño escalonado y su aplicación a algunos problemas de transferencia de calor . Vol. 315. Administración nacional de aeronáutica y espacio.
Erwin Fehlberg (1970) Algunos resultados experimentales sobre la propagación del error en fórmulas de integración de tipo Runge-Kutta. Informe técnico de la NASA R-352. https://ntrs.nasa.gov/api/citations/19700031412/downloads/19700031412.pdf
Erwin Fehlberg (1970). "Klassische Runge-Kutta-Formeln vierter und niedrigerer Ordnung mit Schrittweiten-Kontrolle und ihre Anwendung auf Wärmeleitungsprobleme", Computación (Arch. Elektron. Rechnen) , vol. 6, págs. 61–71. doi : 10.1007 / BF02241732
Ernst Hairer, Syvert Nørsett y Gerhard Wanner (1993). Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias I: problemas no rígidos , segunda edición, Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-56670-8 .
Diran Sarafyan (1966) Estimación de errores para métodos de Runge-Kutta mediante fórmulas pseudo-iterativas . Informe técnico No. 14, Universidad Estatal de Luisiana en Nueva Orleans, mayo de 1966.

Otras lecturas

Simos, TE (1993). Un método de Runge-Kutta Fehlberg con desfase de orden infinito para problemas de valor inicial con solución oscilante. Computadoras y matemáticas con aplicaciones, 25 (6), 95-101.
Handapangoda, CC, Premaratne, M., Yeo, L. y Friend, J. (2008). Método Laguerre Runge-Kutta-Fehlberg para simular la propagación del pulso láser en tejido biológico. Revista IEEE de temas seleccionados en electrónica cuántica, 14 (1), 105-112.
Paul, S., Mondal, SP y Bhattacharya, P. (2016). Solución numérica del modelo de depredador presa de Lotka Volterra utilizando el método de Runge-Kutta-Fehlberg y el método de descomposición de Laplace Adomian. Alexandria Engineering Journal, 55 (1), 613-617.
Filiz, A. (2014). Solución numérica de la ecuación integro-diferencial lineal de Volterra mediante el método de Runge-Kutta-Fehlberg. Matemáticas aplicadas y computacionales, 3 (1), 9-14.
Simos, TE (1995). Métodos de Runge-Kutta-Fehlberg modificados para problemas periódicos de valor inicial. Revista japonesa de matemáticas industriales y aplicadas, 12 (1), 109.
Sarafyan, D. (1994) Solución aproximada de ecuaciones diferenciales ordinarias y sus sistemas a través de fórmulas de Runge-Kutta integradas continuas y discretas y actualización de su orden , Computadoras matemáticas. Applic. Vol. 28, núm. 10-12, págs. 353–384, 1994 https://core.ac.uk/download/pdf/82540775.pdf

[1] Según Hairer et al. (1993, §II.4), el método fue propuesto originalmente en Fehlberg (1969); Fehlberg (1970) es un extracto de esta última publicación.

[:0-2] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f Hairer, Nørsett & Wanner (1993 , p. 177) se refieren a Fehlberg (1969)

[1]