Los métodos explícitos son aquellos donde la matriz es triangular inferior .
Adelante Euler
El método de Euler es de primer orden. La falta de estabilidad y precisión limita su popularidad principalmente para usarse como un ejemplo introductorio simple de un método de solución numérico.
Método explícito del punto medio
El método del punto medio (explícito) es un método de segundo orden con dos etapas (consulte también el método del punto medio implícito a continuación):
El método de Heun
El método de Heun es un método de segundo orden con dos etapas. También se conoce como la regla del trapezoide explícito, método de Euler mejorado o método de Euler modificado. (Nota: la "eu" se pronuncia de la misma manera que en "Euler", por lo que "Heun" rima con "moneda"):
El método de Ralston
El método de Ralston es un método de segundo orden [1] con dos etapas y un límite de error local mínimo:
Método genérico de segundo orden
El método de tercer orden de Kutta
Método genérico de tercer orden
Ver Sanderse y Veldman (2019). [2]
para α ≠ 0, 2 ⁄ 3 , 1:
Método de tercer orden de Heun
Método de tercer orden de Ralston
El método de tercer orden de Ralston [3] se utiliza en el método integrado de Bogacki-Shampine .
Runge-Kutta fuerte de tercer orden que preserva la estabilidad (SSPRK3)
Método clásico de cuarto orden
El método "original" de Runge-Kutta.
Método de cuarto orden de Ralston
Este método de cuarto orden [4] tiene un error de truncamiento mínimo.
Método de cuarto orden de la regla 3/8
Este método no tiene tanta notoriedad como el método "clásico", pero es igual de clásico porque fue propuesto en el mismo artículo (Kutta, 1901).
Los métodos integrados están diseñados para producir una estimación del error de truncamiento local de un solo paso de Runge-Kutta y, como resultado, permiten controlar el error con un tamaño de paso adaptativo . Esto se hace teniendo dos métodos en el cuadro, uno con orden py otro con orden p-1.
El paso de orden inferior viene dado por
donde el son los mismos que para el método de orden superior. Entonces el error es
cual es . El Butcher Tableau para este tipo de método se amplía para dar los valores de
Heun – Euler
El método adaptativo de Runge-Kutta más simple implica combinar el método de Heun , que es de orden 2, con el método de Euler, que es de orden 1. Su Butcher Tableau ampliado es:
La estimación del error se utiliza para controlar el tamaño del paso.
Fehlberg RK1 (2)
El método de Fehlberg [5] tiene dos métodos de órdenes 1 y 2. Su cuadro Butcher extendido es:
| 0 |
| 1/2 | 1/2 |
| 1 | 1/256 | 255/256 | |
| | 1/512 | 255/256 | 1/512 |
| | 1/256 | 255/256 | 0 |
La primera fila de coeficientes b da la solución precisa de segundo orden y la segunda fila tiene el orden uno.
Bogacki – Shampine
El método Bogacki-Shampine tiene dos métodos de órdenes 3 y 2. Su tabla Butcher ampliada es:
| 0 |
| 1/2 | 1/2 |
| 3/4 | 0 | 3/4 |
| 1 | 2/9 | 1/3 | 4/9 | |
| | 2/9 | 1/3 | 4/9 | 0 |
| | 24/7 | 1/4 | 1/3 | 1/8 |
La primera fila de coeficientes b da la solución precisa de tercer orden y la segunda fila tiene el orden dos.
Fehlberg
El método de Runge-Kutta-Fehlberg tiene dos métodos de órdenes 5 y 4. Su cuadro Butcher extendido es:
La primera fila de coeficientes b da la solución precisa de quinto orden, y la segunda fila tiene el orden cuatro.
Cash-Karp
Cash y Karp han modificado la idea original de Fehlberg. El cuadro ampliado para el método Cash-Karp es
| 0 |
| 1/5 | 1/5 |
| 3/10 | 3/40 | 9/40 |
| 3/5 | 3/10 | −9/10 | 6/5 |
| 1 | −11/54 | 5/2 | −70/27 | 35/27 |
| 7/8 | 1631/55296 | 175/512 | 575/13824 | 44275/110592 | 253/4096 | |
| | 37/378 | 0 | 250/621 | 125/594 | 0 | 512/1771 |
| | 2825/27648 | 0 | 18575/48384 | 13525/55296 | 277/14336 | 1/4 |
La primera fila de coeficientes b da la solución precisa de quinto orden, y la segunda fila tiene el orden cuatro.
Dormand – Prince
El cuadro extendido del método Dormand-Prince es
| 0 |
| 1/5 | 1/5 |
| 3/10 | 3/40 | 9/40 |
| 4/5 | 44/45 | −56/15 | 32/9 |
| 8/9 | 19372/6561 | −25360/2187 | 64448/6561 | −212/729 |
| 1 | 9017/3168 | −355/33 | 46732/5247 | 49/176 | −5103/18656 |
| 1 | 35/384 | 0 | 500/1113 | 125/192 | −2187/6784 | 11/84 | |
| | 35/384 | 0 | 500/1113 | 125/192 | −2187/6784 | 11/84 | 0 |
| | 5179/57600 | 0 | 7571/16695 | 393/640 | −92097/339200 | 187/2100 | 1/40 |
La primera fila de coeficientes b da la solución precisa de quinto orden y la segunda fila da la solución precisa de cuarto orden.
Euler al revés
El método de Euler hacia atrás es de primer orden. Incondicionalmente estable y no oscilante para problemas de difusión lineal.
Punto medio implícito
El método implícito del punto medio es de segundo orden. Es el método más simple en la clase de métodos de colocación conocidos como métodos de Gauss-Legendre . Es un integrador simpléctico .
Método Crank-Nicolson
El método Crank-Nicolson corresponde a la regla trapezoidal implícita y es un método A-estable y preciso de segundo orden.
Métodos de Gauss-Legendre
Estos métodos se basan en los puntos de la cuadratura de Gauss-Legendre . El método de Gauss-Legendre de orden cuatro tiene un cuadro de Butcher:
El método de Gauss-Legendre de orden seis tiene un cuadro de Butcher:
Métodos de Runge-Kutta diagonalmente implícitos
Las fórmulas de Runge-Kutta diagonalmente implícitas (DIRK) se han utilizado ampliamente para la solución numérica de problemas de valores iniciales rígidos. El método más simple de esta clase es el método de punto medio implícito de orden 2 .
Método de Runge-Kutta diagonalmente implícito de Kraaijevanger y Spijker en dos etapas:
Método simpléctico diagonalmente implícito de Runge-Kutta de Qin y Zhang de segundo orden:
Método de Runge-Kutta diagonalmente implícito de segundo orden en dos etapas de Pareschi y Russo:
Este método de Runge-Kutta diagonalmente implícito es A-estable si y solo si . Además, este método es L-estable si y solo si es igual a una de las raíces del polinomio , es decir, si . El método Runge-Kutta diagonalmente implícito de Qin y Zhang corresponde al método Runge-Kutta diagonalmente implícito de Pareschi y Russo con.
Método de Runge-Kutta diagonalmente implícito de segundo orden en dos etapas:
Nuevamente, este método de Runge-Kutta diagonalmente implícito es A-estable si y solo si . Como el método anterior, este método es nuevamente L-estable si y solo si es igual a una de las raíces del polinomio , es decir, si .
Método de Runge-Kutta diagonalmente implícito de Crouzeix en dos etapas y tercer orden:
Método de Runge-Kutta diagonalmente implícito de tres etapas, tercer orden, estable en L:
con
El método Runge-Kutta diagonalmente implícito en tres etapas y cuarto orden de Nørsett tiene el siguiente cuadro de Butcher:
con una de las tres raíces de la ecuación cúbica . Las tres raíces de esta ecuación cúbica son aproximadamente, , y . La raíz da las mejores propiedades de estabilidad para problemas de valor inicial.
Método de Runge-Kutta diagonalmente implícito de cuatro etapas, tercer orden, estable en L
Métodos de Lobatto
Hay tres familias principales de métodos de Lobatto, llamadas IIIA, IIIB y IIIC (en la literatura matemática clásica, los símbolos I y II están reservados para dos tipos de métodos Radau). Estos llevan el nombre de Rehuel Lobatto . Todos son métodos implícitos, tienen orden 2 s - 2 y todos tienen c 1 = 0 y c s = 1. A diferencia de cualquier método explícito, es posible que estos métodos tengan un orden mayor que el número de etapas. Lobatto vivió antes de que Runge y Kutta popularizaran el método clásico de cuarto orden.
Métodos Lobatto IIIA
Los métodos de Lobatto IIIA son métodos de colocación . El método de segundo orden se conoce como regla trapezoidal :
El método de cuarto orden viene dado por
Estos métodos son A-estable, pero no L-estable y B-estable.
Métodos Lobatto IIIB
Los métodos de Lobatto IIIB no son métodos de colocación, pero pueden verse como métodos de colocación discontinuos ( Hairer, Lubich & Wanner 2006 , §II.1.4). El método de segundo orden viene dado por
El método de cuarto orden viene dado por
Los métodos de Lobatto IIIB son A-estable, pero no L-estable y B-estable.
Métodos Lobatto IIIC
Los métodos de Lobatto IIIC también son métodos de colocación discontinuos. El método de segundo orden viene dado por
El método de cuarto orden viene dado por
Son L-estables. También son algebraicamente estables y, por tanto, B-estables, lo que los hace adecuados para problemas rígidos.
Métodos Lobatto IIIC *
Los métodos Lobatto IIIC * también se conocen como métodos Lobatto III (Butcher, 2008), métodos Lobatto de Butcher (Hairer et al., 1993) y métodos Lobatto IIIC (Sun, 2000) en la literatura. [6] El método de segundo orden viene dado por
El método de Butcher de tres etapas y cuarto orden viene dado por
Estos métodos no son A-estable, B-estable o L-estable. El método Lobatto IIIC * para a veces se denomina regla trapezoidal explícita.
Métodos de Lobatto generalizados
Se puede considerar una familia de métodos muy general con tres parámetros reales considerando los coeficientes de Lobatto de la forma
- ,
where
- .
For example, Lobatto IIID family introduced in (Nørsett and Wanner, 1981), also called Lobatto IIINW, are given by
and
These methods correspond to , , , and . The methods are L-stable. They are algebraically stable and thus B-stable.
Radau methods
Radau methods are fully implicit methods (matrix A of such methods can have any structure). Radau methods attain order 2s − 1 for s stages. Radau methods are A-stable, but expensive to implement. Also they can suffer from order reduction. The first order Radau method is similar to backward Euler method.
Radau IA methods
The third-order method is given by
The fifth-order method is given by
Radau IIA methods
The ci of this method are zeros of
- .
The third-order method is given by
The fifth-order method is given by