En matemáticas , la curva de Fermat es la curva algebraica en el plano proyectivo complejo definido en coordenadas homogéneas ( X : Y : Z ) por la ecuación de Fermat.
Por lo tanto, en términos del plano afín, su ecuación es
Una solución entera de la ecuación de Fermat correspondería a una solución de número racional distinto de cero a la ecuación afín, y viceversa. Pero por el último teorema de Fermat ahora se sabe que (para n > 2) no hay soluciones enteras no triviales para la ecuación de Fermat; por lo tanto, la curva de Fermat no tiene puntos racionales no triviales.
La curva de Fermat no es singular y tiene género
Esto significa género 0 para el caso n = 2 (una cónica ) y género 1 solo para n = 3 (una curva elíptica ). Se ha estudiado en profundidad la variedad jacobiana de la curva de Fermat. Es isógeno a un producto de variedades abelianas simples con multiplicación compleja .
La curva de Fermat también tiene gonalidad
Variedades Fermat
Ecuaciones de estilo Fermat en más variables definen como variedades proyectivas las variedades de Fermat .
Estudios relacionados
- Baker, Matthew; González Jiménez, Enrique; González, Josep; Poonen, Bjorn (2005), "Resultados de finitud para curvas modulares de género al menos 2", American Journal of Mathematics , 127 (6): 1325-1387, arXiv : math / 0211394 , doi : 10.1353 / ajm.2005.0037 , JSTOR 40068023
- Gross, Benedict H .; Rohrlich, David E. (1978), "Some Results on the Mordell-Weil Group of the Jacobian of the Fermat Curve" (PDF) , Inventiones Mathematicae , 44 (3): 201–224, doi : 10.1007 / BF01403161 , archivado desde el original (PDF) el 2011-07-13
- Klassen, Matthew J .; Debarre, Olivier (1994), "Puntos de bajo grado en curvas planas lisas", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1994 (446): 81–88, doi : 10.1515 / crll.1994.446.81
- Tzermias, Pavlos (2004), "Low-Degree Points on Hurwitz-Klein Curves", Transactions of the American Mathematical Society , 356 (3): 939–951, doi : 10.1090 / S0002-9947-03-03454-8 , JSTOR 1195002